湖北黄冈2015高三3月份质量检测—数学文

黄冈市教育科学研究院命制 2015年3月12日下午2:00～4:00

一、选择题:本大题共10小题,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请将答案涂在答题卡对应题号的位置上,答错位置不得分.

1.已知R为实数集，集合
，
，则
（ ）

A.{x|0≤x＜1} B.{x|-2≤x＜1} C.{x|0≤x≤2} D.{x|x＜1}

2.已知
为虚数单位，则复数
在复平面内对应的点的坐标为（ ）

A.(,) B.(- , - ) C.(- ,) D.(,- )

3.命题“
，
”的否定是（ ）

A.
，
B.
，

C.
，
D.
，

4.已知变量x，y满足
则-2x+y的最大值为（ ）

A.-1 B.-3 C.-8 D.-9

5.书架上有语文书，数学书各三本，从中任取两本，取出的恰好都是数学书的概率为 ( )

A. B. C. D.

6.在黄冈市青年歌手大赛中，七位评委为某选手打出的分数如下：91 89 91 96 94 95 94

去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）

A. 93, 2.8 B. 93, 2 C. 94, 2.8 D. 94, 2

7.设函数
，其图象在点
处的切线
与

直线
垂直，则直线
与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）

A. 9 B. 6 C.3 D. 1

8.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ）

A.6 B.

C.
D.

9.定义在R上的函数
满足
，且
时，
，则
（ ）

A.1 B.
C.
D.

10. 定义在实数集R上的函数
的图像是连续不断的，若对任意的实数
，存在不为0的常数
使得
恒成立，则称
是一个“关于
函数”.下列“关于
函数”的结论正确的是（ ）

A.
是常数函数中唯一一个“关于
函数”

B.
是一个“关于
函数”

C.
不是一个“关于
函数”

D. “关于
函数”至少有一个零点

二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.

11.某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：由下表可得回归直线方程为
，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为 ．

x

16

17

18

19



y

50

34

41

31



12.已知
为第四象限角，
，则
=___________.

13.平面向量
，
，
，若
，

∥
，则
在
方向上的投影为 .

14.执行如图所示的程序框图，输出结果S= ．

15.已知圆
与圆
，在下列说法中：

①对于任意的
，圆
与圆
始终相切；②对于任意的
，圆
与圆
始终有四条公切线；

③当
时，圆
被直线
截得的弦长为
；④
分别为圆
与圆
上的动点，则
的最大值为4．其中正确命题的序号为______．

16.已知函数
，则不等式
的解集为 ．

17.设抛物线
的焦点为
,已知
为抛物线上的两个动点，且满足
,过弦
的中点
作抛物线准线的垂线
,垂足为
,则
的最大值为 ．

三、解答题:本大题共5小题,共65分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.(本小题满分12分)

已知函数

(Ⅰ)求函数
的单调递增区间；

(Ⅱ)在△ABC中，若
,∠B=
，AC=2，求△ABC的面积.

19.(本小题满分12分)

已知数列
是各项均不为0的等差数列，其前
项和为
，且
，数列
满足
，
.

(Ⅰ)求
，并证明数列
为等比数列；

(Ⅱ)若
，求数列
的前n项和
.

20.(本小题满分13分)

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知D点在直线A1B上，AD⊥平面A1BC.

(Ⅰ)求证：BC⊥AB;

(Ⅱ)若BC=2,AB=4,AD=
，P为AC边的中点，求三棱锥P-A1BC的体积 .

21.(本小题满分14分)

已知函数

(Ⅰ)求函数
的极大值和极小值；

(Ⅱ)若不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

(Ⅲ)证明：

.

22.(本小题满分14分)

已知曲线P：
（
）

(Ⅰ)指出曲线P表示的图形的形状；

(Ⅱ)当
时，过点M（1,0）的直线l 与曲线P交于A,B两点.

①若
,求直线l的方程；

②求△OAB面积的最大值.

文 科 数 学 参考答案

一、选择题1-5 ADBBC 6-10 ACBCD

二、填空题

11.49 12.
13. -
14.-2015 15.①③④ 16.
17.1

三、解答题

18.解：(Ⅰ)f(x)＝2(sinx＋cosx)cosx－ ＝sinxcosx＋cos2x－

＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)…………………………5分

令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ得

x∈[－＋kπ，＋kπ] (k∈Z)

即函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]　　(k∈Z)……………6分

(Ⅱ)∵0＜A＜π ∴＜2A＋＜π , f(A)＝sin(2A＋)＝

∴2A＋＝或2A＋＝π，即A＝或Ａ＝…………………………8分

①当A＝时，C＝π，a＝2sinA＝·2＝－1 , S△ABC＝absinC＝ ………10分

②当A＝时，C＝， S△ABC＝ab＝2 …………………………………………12分

19. 解：(Ⅰ)由an2＝S2n－1

令n＝１得a12＝S1＝a1解a1＝1

令n＝2得a22＝S3＝3a2，得a2＝3

∵{an}为等差数列，∴an＝2n－1 ………………………………3分

证明：∵bn＋1
0， ＝＝＝

又b1＋1＝，故{bn＋1}是以为首项公比为的等比数列.………………6分

(Ⅱ)由(1)知，

=

………………………………………12分

20. (Ⅰ)证明：由AD⊥平面ABC，BC?平面ABC得

AD⊥BC ①

又AA1⊥平面ABC
AA1⊥BC ②

AA1∩AD＝A ③

由①②③得BC⊥平面A1AB
BC⊥AB …………………… 6分

(Ⅱ)Rt△ADB中，sin∠ABD＝＝，

故∠ABD＝

Rt△AA1B中，AA1＝ABtan∠ABD＝4

故VP—A1BC＝VA1—PBC

＝VA1—ABC＝×××2×4×4＝

即三棱锥P－A1BC的体积为 . ……………………………………13分

21.(1)∵f＇(x)=3x2+4x=x(3x+4)

f(x)在(－∞,－)和(0,+∞)上递增，在(－,0)上递减

∴ f(x)的极大值为f(－)=

f(x)的极小值为f(0)=0. …………………………………………4分

(2) f(x)≥ax+4xlnx恒成立 ,

即x3+2x2－4xlnx≥ax对?x∈(0,+∞)恒成立.

也即a≤x2+2x－4lnx对x∈(0,+∞)恒成立. 令g(x)= x2+2x－4lnx, 只需a≤g(x)min即可 .

g＇(x)= 2x+2－ =, x∈(0,+∞)， y= g(x)在(0,1)上递减, (1,+∞)上递增

g(x)min=g(1)=3 , ∴ a≤3 .…………………………………………9分

(3)由(2)知x＞0时，x2+2x－4lnx≥3恒成立.

即(x－1)(x+3)≥4lnx 即≥lnx恒成立.

令x=1+ 得≥ln(1+)， 即≥ln(n+1)－lnn

故≥lnn－ln(n－1) …

≥ln3－ln2

≥ln2－ln1

把以上n个式子相加得

++…+≥ln(n+1).……………………………14分

22. (Ⅰ) 当1＜m＜时，曲线P表示焦点在y轴上的椭圆

当m＝时，曲线P表示圆

当＜m＜6时，曲线P表示焦点在x轴上的椭圆……………………4分

(Ⅱ)当m＝5时，曲线P为＋y2＝1，表示椭圆

依题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l：x＝
y＋1，A(x1,y1) B(x2,y2)

由＋y2＝1消去x得(
2＋4)y2＋2
y－3＝0

△＞0，由韦达定理得

由
得，y1＝－2y2代入①②得 …………………7分

故＝

2＝

＝±

即直线l的方程为x±y－1＝0 . ……………………………………9分

②S△OAB＝S△OMA＋S△OMB＝|OM|·|y1－y2|＝|y1－y2|

＝＝＝＝

令＝t (t≥) S(t)＝

当t∈[，＋∞）时，S’ (t)＝＝＜0

故y＝S(t)在t∈[，＋∞）时单调递减

当t＝, 即
＝0时，S△ABO有最大值为 .…………………14分

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