湖北黄冈2015高三3月份质量检测—数学理

黄冈市教育科学研究院命制 2015年3月16日下午2:00～4:00

一. 选择题:本大题共10小题,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 请将答案涂在答题卡对应题号的位置上,答错位置不得分.

1. 是z的共轭复数,若z+=3,（z-）=3i（i为虚数单位）,则z的实部与虚部之和为（ ）

A. 0 B. 3 C. -3 D. 2

2. 若二项式（x+）7的展开式中的系数与的系数之比是35:21,则a=（ ）

A. 1 B. 2 C. -1 D. -2

3. 设集合M={y|y=|cos2x-sin2x|,x∈R},N={x|y=ln（1-x2）},则M∩N=（ ）

A. {x|-1≤x≤1} B. {x|-1≤x≤0} C. {x|0＜x≤1} D. {x|0≤x＜1}

4. 设命题p:若||=||=,且与的夹角是,则向量在方向上的投影是1;命题q:“x≥1”是“≤1”的充分不必要条件,下列判断正确的是（ ）

A. p∨q是假命题 B. p∧q是真命题 C. p∨q是真命题 D. ﹁q为真命题

5. 将函数
的图象向左平移α（α＞0,且α值最小）个单位长度后，所得到的图象关于
轴对称，则tanα的值是（ ）

A.  B.  C.  D. 

6. 已知直线ax+by=0与双曲线（0＜a＜b）交于A,B两点,若A（x1,y1）,B（x2,y2）满足|x1-x2|=3,且|AB|=6,则双曲线的离心率为（ ）

A.  B. 3 C.  D. 2

7. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）

A.  B. 

C.  D. 

8. 在区间[-,]上随机取一个数x,则cosπx的值介于与

之间的概率为（ ）

A.  B.  C.  D. 

9. 阿基米德“平衡法”的中心思想是:要算一个未知量（图形的体积或面积）,

先将它分成许多微小的量（如面分成线段,体积分成薄片等）,再用另一组微

小单元来进行比较. 如图,已知抛物线y=x2,直线l:x-2y+4=0与抛物线交

于A. C两点,弦AC的中点为D,过D作直线平行于抛物线的对称轴Oy,

交抛物线于点B,则抛物线弓形ABCD的面积与△ABC的面积之比是（ ）

A.  B.  C.  D. 

10. 已知函数f（x）=（x≠-2）,下列关于函数
（其中a为常数）的叙述中：①
a>0，函数g（x）一定有零点；②当a＝0时，函数g（x）有5个不同零点；③
a∈R，使得函数g（x）有4个不同零点；④函数g（x）有6个不同零点的充要条件是0

A. ①②③ B. ②③④ C. ②③ D. ①③④

二. 填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.

（一）必考题11～14

11. 某程序框图如图所示,则输出的S的值为_______.

12. 现在所有旅客购买火车票必须实行实名制,据不完全统计

共有28种有效证件可用于窗口的实名购票,常用的有效

证件有:身份证,户口簿,军人证,教师证等,对2015年春运

期间120名购票的旅客进行调查后得到下表:

购买火车票方式

身份证

户口簿

军人证

教师证

其他证件



旅客人数

a

6

8

b

19



已知a-b=57,则使用教师证购票的旅客的频率大约为_________.

13. 已知实数x. y满足且t=ax+by（0≤a＜b）取得最小值1,则2+3的最大值

为______.

14. 对于集合N={1,2,3,…,n}和它的每一个非空子集，定义一种求和称之为“交替和”如下:如集合{1,2,3,4,5}的交替和是5–4＋3–2＋1＝3，集合{3}的交替和为3. 当集合N中的n=2时，集合N={1,2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1,2}，则它的“交替和”的总和S2=1+2+（2–1）=4，请你尝试对n=3. n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S3. S4，并根据计算结果猜测集合N={1,2,3,…,n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn=. （不必给出证明）

（二）选考题（请考生在15. 16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B钢笔涂黑,如果全选,则按第15题作答结果计分）

15（选修4-1:几何证明选讲）

如图,A,B是圆O上两点,且OA⊥OB,OA=1,C为OA的中点,

连接BC并延长交圆O于点D,则CD=______.

16（选修4-4:坐标系与参数方程）

已知曲线ρ2-2ρcosθ-2sinθ+1=0（0≤θ≤2π）,则直线（t为参数）

与曲线的最小距离为_________.

三. 解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分11分）已知函数

（1）求函数
的单调递增区间；

（2）在△ABC中，若
,∠B=
，AC=2，求△ABC的面积.

18. （本小题满分12分）已知等比数列{an}的公比
，前n项和为Sn，S3＝7，且a1+2,2a2,a3+1成等差数列，数列{bn}的前n项和为Tn，
，其中
N*.

（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；

（2）设A={a1,a2,…,a9}，B={b1,b2,…,b38},C=A∪B，求集合C中所有元素之和.

19. （本小题满分12分）如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,四边形BCC1B1是边长为6的正方形,直线AB与平面ACC1A1所成的角的正切值为3,点D为棱AA1上的动点,且AD＞DA1.

（1）当AD为何值时,CD⊥平面B1C1D?

（2）当AD=2,时,求二面角B1-DC-C1的正切值.

20. （本小题满分12分）某高中有甲. 乙两个生物兴趣小组,分别独立开展对一种海洋生物离开恒温箱的成活情况进行研究,每次试验一个生物,甲组能使生物成活的概率为,乙组能使生物成活的概率为,假定试验后生物成活,则称该试验成功,如果生物不成活,则称该次试验是失败的.

（1）甲小组做了三次试验,求至少两次试验成功的概率;

（2）若甲. 乙两小组各进行2次试验,设试验成功的总次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.

21. （本小题满分14分）如图. 已知F1,F2分别为椭圆（a＞b＞0）

的左,右焦点,其离心率e=,且a+c=3.

（1）求椭圆的标准方程;

（2）设A. B分别为椭圆的上. 下顶点,过F2作直线l与椭圆交于

C. D两点,并与y轴交于点P（异于A. B. O点）,直线AC与直线

BD交于点Q,则·是否为定值,若是,请证明你的结论;

若不是,请说明理由.

22. （本小题满分14分）设函数f（x）=-x+alnx（a∈R）（e=2. 71828…是一个无理数）.

（1）若函数f（x）在定义域上不单调,求a的取值范围;

（2）设函数f（x）的两个极值点分别为x1和x2,记过点A（x1,f（x1））,B（x2,f（x2））的直线斜率为k,若

k≤·a-2恒成立,求a的取值集合.

黄冈市2015年3月高三年级调研考试

理科数学参考答案

一. 选择题

1. B2. A3. D4. C5. B6. D7. A8. D9. B10. B

二. 填空题

11. 3012. 0. 12513. 14. n·2n-115. 16. 

三. 解答题

17. 解：（1）f（x）＝2（sinx＋cosx）cosx－＝sinxcosx＋cos2x－

＝sinx＋cos2＝sin（2x＋）…………………………5分

令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ得

x∈[－＋kπ，＋kπ]（k∈Z）

即函数f（x）的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]（k∈Z）……………6分

（2）∵0＜A＜π∴＜2A＋＜π,fA. ＝sin（2A＋）＝

∴2A＋＝或2A＋＝π，即A＝或A＝…………………………8分

A＝时，C＝π，a＝2sinA＝·2＝－1,S△ABC＝absinC＝………10分

②当A＝时，C＝，S△ABC＝ab＝2…………………………………………11分

注：得一解只给9分

18. 【解析】（1）∵
，∴
①

∵a1+2,2a2,a3+1成等差数列，∴a1+2+a3+1=4a2,②…………………2分

②－①得，
即
③又由①得，
④

消去
得，
，解得
或
（舍去）

∴
………………………………………………4分

当
N*时，
，当
时，

∴当
时，
，即
…………6分

∴
，
，
，
.

∴···…·=···…·∴

∵
，∴
，

故
N*）………………………………………………8分

（2）S9==29-1=511，T38==2147. ……………………10分

∵A与B的公共元素有1，4，16，64，其和为85，

∴集合C中所有元素之和=S9+T38-85=511+2147-85=2573. …………………12分

19. 解法一:（1）∵四边形BCC1B1是边长为6的正方形,∴BC=CC1=AA1=6.

∵∠ACB=90°,∴AC⊥B C. 又易知AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥BC,又AC∩AA1=A,

∴BC⊥平面ACC1A1. ∠BAC就是直线AB与平面ACC1A1所成的角,

∴tan∠BAC===3,∴AC=2,又BC∥B1C1,∴B1C1⊥平面ACC1A1.

∴B1C1⊥CD,故当CD⊥C1D时有CD⊥平面B1C1D,此时有△C1A1D∽△DAC,设AD=x,则=,

即=,解得x=3±,由于AD＞DA1. 故当AD=3+时,CD⊥平面B1C1 D. ………6分

（2）在平面ACC1A1内过点C1作C1E⊥CD,交CD的延长线于点E,连接EB1,如图.

由（1）可知B1C1⊥平面ACC1A1,故由三垂线定理可知,B1E⊥C D.

故∠B1EC1为二面角B1-DC-C1的平面角.

当AD=2时,DC=4,=CC1·AC=6,∴DC·C1E=6,

解得C1E=3,故tan∠B1EC1==2,

即二面角B1-DC-C1的正切值为2. …………………12分

解法二:（向量法）（1）取C为坐标原点,CA,CB,CC1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直线坐标系.

同解法一可求得AC=2. 设AD=x,则点C（0,0,0）,A（2,0,0）,B1（0,6,6）,C1（0,0,6）,D（2,0,x）.

∴=（0,6,0）,=（-2,0,6-x）,=（2,0,x）.

由解得x=3±,由于AD＞DA1.

故当AD=3+时,CD⊥平面B1C1 D. ………6分

（2）若AD=2,则点D（2,0,2）,=（2,0,2）,=（0,6,6）,设平面B1CD的法向量为=（x,y,z）.

由得令z=-1,得=（,1,-1）,又平面C1DC的法向量为=（0,1,0）.

设二面角B1-DC-C1的大小为θ,则cosθ===,

∴sinθ=,∴tanθ==2. 即二面角B1-DC-C1的正切值为2. ………………12分

20. 解:（1）设甲小组做了三次实验,至少两次试验成功为事件A,则

PA. =（）2×（1-）+（）3=…………………………5分

（2）由题意
的取值为0,1,2,3,4.

P（ξ=0）=（）0×（）2·（）0×（）2=,

P（ξ=1）=（）×（）×（）0×（）2+（）0×（）2×（）×（）=,

P（ξ=2）=（）2×（）0·（）0×（）2+（）0×（）2·（）2×（）0+（）×（）·（）×（）=，

P（ξ=3）=（）2×（）0·（）×（）+（）×（）1·（）2×（）0=，

P（ξ=4）=（）2×（）0·（）2×（）0=…………………………9分

故
的分布列为

0

1

2

3

4



P















∴E（ξ）=0×+1×+2×+3×+4×=……………………12分

21. 解析:（1）由题意得,=,又a+c=3,解得a=2,c=1,∴b2=3,

故所求椭圆的标准方程为. ……………………4分

（2）·是为定值3. 证明如下:……………………………6分

显然,当直线l垂直于x轴时,不合题意,当直线l不垂直于x轴时,由（1）得F2（1,0）,

设直线l的方程为x=my+1（m≠0）,则P（0,-）.

将直线x=my+1代入