株洲市2015届高三年级教学质量统一检测（一）数学试题（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题。本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．答案要写在答题卷上．

1.已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 命题“
，
”的否定是（ ）

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

3. 设数列{an}是等比数列，函数y=x2－x－2的两个零点是
，则
=（ ）

A．2 B．1 C．－1 D．－2

4. 程序框图如图所示，若输入a的值是虚数单位i，则输出的

结果是（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 已知条件p：k=
；条件q：直线y= kx+2与圆x2+y2=1相切，

则p是q的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

6．下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上

单调性也相同的是(　　)

A．y＝－ B．y＝log2|x| C．y＝1－x2 D．y＝x3－1

7. 在长方体ABCD - A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)

A． B． C． D．

8. 已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的

正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为(　　)

9. 已知双曲线
的一条渐近线的倾斜角的余弦值为
，双曲线上过一个焦点且垂直于实轴的弦长为
，则该双曲线的离心率等于（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 在
中，若角
所对的三边
成等差数列，给出下列结论：

①
；②
；③
；④
.

其中正确的结论是（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卷上．

11．直角坐标系xOy中，点A，B分别在曲线
（
为参数）上，则|AB|的最大值为 .

12．向量
，
，且
∥
，则
.

13．记集合
和集合
表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M(x，y)，则点M落在区域Ω2内的概率为 .

14．如右图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别

在函数y=
的图像上，且矩形的边分别

平行两坐标轴，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是

15．在边长为2的菱形
中，
，对角线
与
相较于
，点是线段
的一个三等分点，则
等于 .

三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分）

海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.

地区

A

B

C



数量

50

150

100



（Ｉ）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；

（II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.

17.（本题满分12分）

已知函数
.

（I）当
时，求函数
的最大值；

（II）若
，求
的值.

18.（本题满分12分）

如图所示的多面体
中，底面
为正方形，
//
//
，
，且
．

（Ⅰ）求证：
//
；

（Ⅱ）求多面体
的体积．

19.（本题满分13分）

已知数列
是正数等差数列，其中
，且
成等比数列；数列
的前项和为
，满足
.

（Ⅰ）求数列
、
的通项公式；

（II）如果
，设数列
的前项和为
，是否存在正整数，使得
成立，若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.

20.（本题满分13分）

如图，点
分别是椭圆C:
的左、右焦点，过点
作轴的垂线，交椭圆
的上半部分于点，过点
作
的垂线交直线
于点
.

（Ⅰ）如果点
的坐标为（4,4），求椭圆
的方程；

（II）试判断直线
与椭圆
的公共点个数，并证明你的结论.

21.（本题满分13分）

已知函数

（Ⅰ）讨论函数
的单调性；

（II）若函数
的图象在点
处的切线的倾斜角为
，对于任意的
，函数
在区间
上总不是单调函数，求的取值范围；

（Ⅲ）求证：
.

绝密★启用前

株洲市2015届高三年级教学质量统一检测（一）

数学试题（文科）答案

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题。本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．答案要写在答题卷上．

1.已知集合
，
，则
（ C ）

A．
B．
C．
D．

2. 命题“
，
”的否定是（ B ）

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

3. 设数列{an}是等比数列，函数y=x2－x－2的两个零点是
，则
=（ D ）

A．2 B．1 C．－1 D．－2

4. 程序框图如图所示，若输入a的值是虚数单位i，则输出的

结果是（ A ）

A．
B．
C．
D．

5. 已知条件p：k=
；条件q：直线y= kx+2与圆x2+y2=1相切，

则p是q的(　A　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

6．下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上

单调性也相同的是(　C　)

A．y＝－ B．y＝log2|x| C．y＝1－x2 D．y＝x3－1

7. 在长方体ABCD - A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　D　)

A． B． C． D．

8. 已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长

为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为(　B　)

9. 已知双曲线
的一条渐近线的倾斜角的余弦值为
，该双曲线上过一个焦点且垂直于实轴的弦长为
，则双曲线的离心率等于（ C ）

A．
B．
C．
D．

10. 在
中，若角
所对的三边
成等差数列，给出下列结论：

①
；②
；③
；④
.

其中正确的结论是（ D ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卷上．

11．直角坐标系xOy中，点A，B分别在曲线
（
为参数）上，则|AB|的最大值为 2 .

12．向量
，
，且
∥
，则

.

13．记集合
和集合
表示的平

面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M(x，y)，则点M落在区域Ω2内的概率

为
.

14．如右图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别

在函数y=
的图像上，且矩形的边分别

平行两坐标轴，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是

15．在边长为2的菱形
中，
，对角线
与
相交于
，点是线段
的一个三等分点，则
等于 2 .

三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分）

海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.

地区

A

B

C



数量

50

150

100



（Ｉ）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；

（II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.

解析：（Ⅰ）因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为：

………3分

所以各地区抽取商品数为：
，
，
；……6分

（Ⅱ）设各地区商品分别为：
………7分

6件样品中随机抽取2件的基本事件为：

，共15个.……9分

2件商品来自相同地区的基本事件为：
…11分

记“这两件商品来自同一地区的事件”为A，则它的概率为：
.……12分

17.（本题满分12分）

已知函数
.

（I）当
时，求函数
的最大值；

（II）若
，求
的值.

【解析】

.…………3分

(Ⅰ)因为
，所以
，所以当
时，
.…7分

（Ⅱ）由
，知
，

因为
，所以
，因此
，

所以

.…………12分

18.（本题满分12分）

如图所示的多面体
中，底面
为正方形，
//
//
，
，且
．

（Ⅰ）求证：
//
；

（Ⅱ）求多面体
的体积．

19.（本题满分13分）

已知数列
是各项均为正数的等差数列，其中
，且
成等比数列；数列
的前项和为
，满足
.

（Ⅰ）求数列
、
的通项公式；

（II）如果
，设数列
的前项和为
，是否存在正整数，使得
成立，若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.

（Ⅰ）设数列
的公差为
，依条件有
，

即
，解得
（舍）或
，

所以
.…………2分

由
，得
，

当
时，
，解得
，

当
时，
，

所以
，

所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，

故
.………5分

（2）由（1）知，
，

所以
①

②

得
.…………9分

又
.

所以
，

当
时，
，

当
时，
，所以
，

故所求的正整数存在，其最小值是2. …………13分

20.（本题满分13分）

如图，点