2015年湖北省八市高三年级三月联考

数学（文史类）参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1．A 2．D 3．D 4．B 5．A 6．B 7．B 8．C 9．C 10．D

二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分。

11．24 12．
13．4 14．1 15．

16．
17．
；
（说明前一个空2分，后一个空3分）

三、解答题：本大题共5小题，共65分。

18．（Ⅰ）解：由已知可得
…………………3分

BC=
=4，
…………………………………… 4分

由图象可知，正三角形ABC的高即为函数
的最大值，

得
………………………………………………………6分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知

即
∵
，

∴
∴
…………………8分

∴

………………………………12分

19．解：（Ⅰ）由
，得

当
时，

整理，得
………………………………………2分

…………………………………4分

所以，数列
是首项为1，公差为3的等差数列。

故
………………………………………………………6分

（Ⅱ）
是首项为1，公比为10的等比数列.

，…………………………………………………………8分

又
，

……………………………………………………12分

20．（Ⅰ）证明：由正三棱柱的性质可知，上下两个底面平行，

且截面
上底面
=PQ，截面
下底面ABC=AB，

由两个平面平行的性质定理可得

……………………………………………………………………6分

（Ⅱ）假设存在这样的满足题设，分别取AB的中点D，PQ的中点E，连接DE，

由（Ⅰ）及正三棱柱的性质可知
为等腰三角形，APQB为等腰梯形，

　

为二面角A－PQ－C的平面角，………………………………………8分

连接
并延长交
于F，由（Ⅰ）得，

………………………………………………………9分

在
中求得
，在
中求得

若平面
截面
，则

，

，将以上数据代入整理，

得
，解得
…………………………………………………13分

21．（Ⅰ）
………………………………………………………………2分

∵
时，
取得极值，∴
………………………………………3分

故
，解得
，

经检验当
时，
在
处取得极大值符合题意，∴
……………4分

（Ⅱ）由
知
，由

得
，

令
，

则
在[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于
在[0，2]上恰有两个不同的实数根．

………………………………………6分

当
时，
，于是
在
上单调递增；……………… 7分

当
时，
，于是
在
上单调递减；……………… 8分

依题意有

………………………………………………11分

解得
，

所以实数b的取值范围是
………………………………14分

22．（Ⅰ）
，由题设可知
，得

①……………………1分

又点P在椭圆C上，
②

③……………………3分

①③联立解得，
………5分

故所求椭圆的方程为
…………………………………………6分

（Ⅱ）方法1：设动直线
的方程为
，代入椭圆方程，消去y，整理，

得
（﹡）

方程（﹡）有且只有一个实根，又
，

所以
得
…………………………………………………………8分

假设存在
满足题设，则由

对任意的实数
恒成立.

所以，
解得，

所以，存在两个定点
，它们恰好是椭圆的两个焦点．……13分

方法2：根据题设可知动直线
为椭圆的切线，其方程为

，且

假设存在
满足题设，则由

对任意的实数
恒成立，所以，

解得，

所以，存在两个定点
，它们恰好是椭圆的两个焦点．……14分

命题人：天门市教科院 刘兵华

仙桃市教科院 曹时武

随州市曾都一中 刘德金