（满分150分，完成时间：120分钟）

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，下列每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的代号，涂在答题卡上）

1．设全集
，则阴影部分表示的集合为

A．
B．

C．
D．

2．已知
，则向量
在
方向上的投影为

A． B． C． D．

3．现有5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为

A．480　 B．240 C．120 D．96

4．设△
的内角
所对边的长分别为
，若
，
，则角

A.
B.
C.
D.

5．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a6、a9、a15依次为等比数列{bn}的连续三项，若数列{bn}的首项b1＝，则数列{bn}的前5项和S5等于

A．　　 B．　　 　 C．31　　 D．32

6．某路段的雷达测速区检测点，对过往汽车的车速进行检测所得结果进行抽样分析，并绘制如图所示的时速（单位km/h）频率分布直方图，若在某一时间内有200辆汽车通过该检测点，请你根据直方图的数据估计在这200辆汽车中时速超过65km/h的约有

A.辆 B.辆 C.辆 D.辆

7．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sin x(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是

A.
B.

C.
D.

8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，

则该几何体的外接球的表面积为

A.
B.

C.
D.

9．已知是平面区域
内的动点，向量=（1,3），则
的最小值为

A．-1 B．-12 C．-6 D．-18

10．若直线
与曲线
有且仅有三个交点，则的取值范围是

A．
B．

C．
D．

11．抛物线
的焦点为F，点A,B在抛物线上，且∠AFB=，弦AB中点M在其准线上的射影为N，则的最大值为

A． B． C． D．

12. 已知定义在上的可导函数
满足：
，则
与
的大小关系是

A.
B.

C.
D.不确定

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答卷上）

13．若
展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为.

14．函数
的最小值是.

15．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O，A两点，若△AOF的面积为b2，则双曲线的离心率等于.

16．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________．

三、解答题（本大题共5小题，满分60分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）。

17．已知Sn为数列{an}的前n项和，且2an＝Sn＋n.

（1）若bn＝an＋1，证明：数列{bn}是等比数列；

（2）求数列{Sn}的前n项和Tn.

18．某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机

抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，

其中某班级的正确率为
，背诵错误的的概率为
，现记“该班级完成首背诵后总得分为
”.

（1） 求
且
的概率；

（2）记
，求的分布列及数学期望.

19．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.

（1）求证：AA1⊥平面ABC；

（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；

（3）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求
的值.

20．已知椭圆C：
的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线
与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆上一点，若过点
的直线
与椭圆相交于不同的两点
和,且满足
（O为坐标原点），求实数的取值范围.

21．已知函数
--（＜0）．

（1）求函数
的单调区间；

（2）若函数
的图象在点
处的切线的倾斜角为45°，对于任意的∈[0，1]，函数
在区间（，2）上总不是单调函数，其中
为
的导函数，求实数的取值范围．

四、选考题（从下列三道解答题中任选一题做答，做答时，请注明题号；若多做，则按首做题计入总分）。(本题满分10分)

22．选修4－1：几何证明选讲

如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，EC＝ED.

（1）证明：CD∥AB；

（2）延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，

证明：A，B，G，F四点共圆．

23．选修4－4：坐标系与参数方程

已知直线：
为参数), 曲线

（为参数）.

（1）设与
相交于
两点,求
；

（2）若把曲线
上各点的横坐标压缩为原来的
倍，纵坐标压缩为原来的
倍，得到曲线
,设点是曲线
上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.

24．选修4—5：不等式选讲

设
-
，∈

（1）当
，解不等式
≤
；

（2）当
时，若
，使得不等式
+
≤－
成立，求实数的取值范围．

2014—2015学年度第一学期

高三年级数学(理科)期考试题参考答案

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

三、解答题（本大题共5小题，满分60分）

17. (1) 证明：n＝1时，2a1＝S1＋1，∴a1＝1.

由题意，得2an＝Sn＋n,2an＋1＝Sn＋1＋(n＋1)，

两式相减可得2an＋1－2an＝an＋1＋1， ………………………… 2分

即an＋1＝2an＋1.

于是an＋1＋1＝2(an＋1)，即bn＋1＝2bn， ………………………… 4分

又b1＝a1＋1＝2.

所以数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列． ……………………6分

(2) 解：由(1)知：bn＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1， ………………………8分

∴Sn＝2an－n＝2n＋1－n－2， …………………………9分

∴Tn＝S1＋S2＋…＋Sn＝(22＋23＋…＋2n＋1)－(1＋2＋…＋n)－2n

＝－－2n＝2n＋2－4－－n2. ……………… 12分

（2）∵
的取值为10，30，50，又
…………………6分

∴
,

……………………………9分

∴
的分布列为：

10

30

50













∴
. ………………………12分

（2）由（1）知，
⊥AC,
⊥AB.

由题意知
，所以
.

如图，以A为原点建立空间直角坐标系
,

则.

设平面
的法向量为
，

则
即

令
，则
，所以
. ………………………………6分

同理可得，平面
的法向量为
.

所以
.

由题知二面角A1-BC1-B1为锐角，所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为
. ……8分

（3）设
是直线
上的一点，且
.

所以
，解得，
-

所以
. ……………………………………10分

由
，即
，解得
.

因为
，

所以在线段
上存在点D，使得
，此时
. ……12分

（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为
，设

将直线方程代入椭圆方程得：
…………6分

∴
，∴

设
,
，则
…………8分

当k=0时，直线l的方程为y=0,此时t=0，
成立，

故，t=0符合题意。

当
时

得

∴


…………………………………………10分

将上式代入椭圆方程得：

整理得：

由
知

所以
……………………………………………………12分

（2）∵
，∴
， ………………………………5分

∴
.

∴
，

∴
. ……………………………………6分

∵
在区间
上总不是单调函数，且
，

∴
………………………………………………8分

由题意知：对于任意的
，
恒成立，

∴
……………………………………………………10分

∴
.

故实数m的取值范围为（－
） ………………………………12分

四、选考题（10分）

22. 证明:（1）因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.

因为A，B，C，D四点在同一圆上，

所以∠EDC＝∠EBA，故∠ECD＝∠EBA，

所以CD∥AB. ………………5分

（2）由（1）知，AE＝BE，因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC.从而∠FED＝∠GEC.

连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE. …………………………7分

又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA，

所以∠AFG＋∠GBA＝180°，

故A，B，G，F四点共圆． ………………………………………………10分

（2）
的参数方程为
为参数).

故点的坐标是
,

从而点到直线的距离是

＝

由此当
时,取得最小值,且最小值为
. …10分