2015年湖北省八市高三年级三月联考

数学（理工类）参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1．C 2．B 3．D 4．B 5．A 6．B 7．B 8．A 9．C 10．D

二、填空题：本大题 共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。

11．
12．4 13．
14．

15．7 16．

三、解答题。本大题共6小题，共75分。

17．（Ⅰ）解：由已知可得
………………3分

BC=
=4，
……………………………………4分

由图象可知，正三角形ABC的高即为函数
的最大值，

得
………………………………………………………6分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知

即
∵
，

∴
∴
…………………8分

∴

……………………………12分

18．（Ⅰ）证明：①当
时，
，

② 假设当
时，结论成立，即
，

则当
时，

又

综上①②可知
………………………………………………6分

（Ⅱ）由
可得：

即
……………………8分

令
，则
又

∴
是以1为首项，以2为公比的等比数列，
，

即
………………………………………………………12分

19．（Ⅰ）平面
平面
,

∴
平面
∴

∴
……………………………………2分

在直角三角形
中，

∴
得

∴
，又

∴
……………………………………………………6分

（Ⅱ）作

设BE交DC于O点，连OF，

由（Ⅰ）知，
为二面角F－BE－C的平面角………………………7分

由
∴

，∴

在
………………10分

得，
………………………………………………………………12分

方法2：
，设BE交DC于O点，连OF，

则
为二面角F－BE－C的平面角…………………………………7分

又
∴

由
得
……………………………………………8分

在直角三角形
中
，
∴

由
得
从而得，
…………12分

方法3：（向量法酌情给分）

以D为坐标原点DB，DE，D
分别为OX，OY，OZ轴建立空间直角坐标系，各点坐标分别为D（0，0，0），
（0，0，2），B（2，0，0），

C（2，
，0），E（0，
，0）.

（Ⅰ）

∵
∴

∵
∴

又
，∴
平面

又
平面

所以平面
平面
…………………………………………6分

（Ⅱ）设

设平面BEF的法向量为

，

取
……………………………………………………8分

又平面BEC的法向量为

∴
得

解得
，又∵

∴
……………………………………………………………12分

20．（Ⅰ）路线A→E→F→B途中堵车概率为
；

路线A→C→D→B途中堵车概率为
；

路线A→C→F→B途中堵车概率为
．

所以选择路线路线A→E→F→B的途中发生堵车的概率最小……………6分

（Ⅱ）解法一：由题意，
可能取值为0，1，2，3．

，

，

，

．

………………12分

解法二：设
表示路线AC中遇到的堵车次数；
表示路线CF中遇到的堵车次数；

表示路线FB中遇到的堵车次数； 则
，

∵
，
，
，

∴
………………………………12分

21．（Ⅰ）
，由题设可知
，得

①……………………1分

又点P在椭圆C上，
②

③……………………3分

①③联立解得，
………5分

故所求椭圆的方程为
……………………………………………………6分

（Ⅱ）方法1：设动直线
的方程为
，代入椭圆方程，消去y，整理，

得
（﹡）

方程（﹡）有且只有一个实根，又
，

所以
得
…………………………………………………………8分

假设存在
满足题设，则由

对任意的实数
恒成立.所以，
解得，

所以，存在两个定点
，它们恰好是椭圆的两个焦点.……13分

方法2：根据题设可知动直线
为椭圆的切线，其方程为

，且

假设存在
满足题设，则由

对任意的实数
恒成立，所以，

解得，

所以，存在两个定点
，它们恰好是椭圆的两个焦点.……13分

22．（Ⅰ）
………………………………………………………………2分

∴
，于是
， 直线l的方程为
……3分

原点O到直线l的距离为
…………………………………………………4分

（Ⅱ）
，

设
，即

…………………………………………6分

①若
，存在使
，
，这与题设
矛盾…7分

②若
，方程
的判别式
，

当
，即
时，
，

∴
在
上单调递减，

∴
，即不等式成立…………………………………………………8分

当
时，方程
，设两根为
，

当
单调递增，
与题设矛盾，

综上所述，
………………………………………………………………10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当
时，
时，
成立．

不妨令
，

所以
，

……………………………………11分

…………………………………………12分

累加可得

．

………………………………………………14分

命题人：天门市教科院 刘兵华

仙桃市教科院 曹时武

随州市曾都一中 刘德金