2014年秋季湖北省部分重点中学期末联考高三数学理试卷

考试时间：2015年 2月9 日下午15：00—17：00 试卷满分：150分

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数
（i为虚数单位），则复数Z的共轭复数
为（ ）

A．
B.
C.
D.

2．对于单位向量
的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．若
则a与b的大小关系是（ ）

A．ab C．a=b D．a+b=0

4．二项式
的展开式中常数项是（ ）

A．3360 B．－1120 C．－3360 D．1120

5．已知变量x,y满足不等式组
的最小值为（ ）

A．2 B．1 C．
D．

6．互不相等的三个正数x1,x2,x3成等比数列，且点
，

共线（a>0,a≠1，b>0,b≠1），则y1,y2,y3成（ ）

A．等差数列，但不成等比数列 B．等比数列，但不成等差数列

C．等比数列，也可能成等差数列 D．既不是等差数列，又不是等比数列

7．已知函数
的定义域为实数集R，满足
，（M是R的非空真子集），在R上有两个非空真子集A，B，且
，则
的值域为（ ）

A．
B．{1} C．{
} D．[
]

8．从双曲线
的左焦点F引圆x2+y2=3的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段PF的中点，O为原点，则|MO|－|MT|=（ ）

A．
B．
C．
－
D．
+

9．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长AB=6，侧棱长AA1=2
，它的外接球的球心为O，点E是AB的中点，点P是球O上任意一点，有以下判断：

①PE的长的最大值是为9；

②三棱锥P—EBC的体积的最大值是
；

③三棱锥P—AEC1的体积的最大值是20；

④过点E的平面截球O所得截面面积最大时，B1C垂直于该截面，

正确的命题是（ ）

A．①④ B．②③ C．①③ D．②④

10．已知
，则关于F(x)=f(f(x))+a的零点个数，正确的是（ ）

A．k<0时，若a≥e，则有2个零点

B．k>0时，若a>e，则有4个零点

C．无论k为何值，若
，都有2个零点

D．k>0时，若0≤a

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在题中的横线上.

（一）必考题（11—14题）

11．若实数a,b满足a2+b2≤1，则关于x的方程x2－2x+a+b=0有实数根的概率是_______.

12．已知空间几何体的正视图，侧视图都是边长为1，且一个内角为60°的菱形，而俯视图是个圆，则这一几何体的体积为__________.

13．已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5，则a的取值范围是_________.

14．在直角坐标系中，定义两点P(x1,y1)与Q(x2,y2)之间的“直角距离”为d(P,Q)=|x1－x2|+

|y1－y2|,现给出四个命题：

（1）已知P(1,3),Q(sin2α,cos2α)(α∈R),则d(P,Q)为定值；

（2）已知P，Q，R三点不共线，则必有d(P,Q)+d(Q,R)>d(P,R);

（3）用|PQ|表示P，Q两点间的距离，那么

（4）若P，Q是椭圆
上的任意两点，则d(P,Q)的最大值是
.

在以上命题中，你认为正确的命题有_________.（只填写所有正确的命题的序号）

（二）选考题（请考生在第15，16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分）

15．（选修4—1：几何证明选讲）如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B，C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=
，∠APB=30°，则AE=___________.

16．（选修4—4，坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的参数方程为
，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ－ρcosθ=3，则C1与C2的交点在直角坐标系中的坐标为________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本大题共12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c且cos2C=cosC.

（1）求角C；

（2）若b=2a,△ABC的面积
求sinA及边c的值.

18．（本大题共12分）设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.

（1）若首项
，公差d=1,求满足
的正整数k；

（2）求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有
成立?

19．（本大题共12分）如图1，在直角梯形SABC中，∠B=∠C=
，D为边SC上的点，且AD⊥SC，现将△SAD沿AD折起到达PAD的位置（折起后点S记为P），并使得PA⊥AB.

（1）求证：PD⊥平面ABCD；

（2）已知PD=AD，PD+AD+DC=6，当线段PB取得最小值时，请解答以下问题：

①设点E满足
，则是否存在λ ，使得平面EAC与平面PDC所成的锐角是
？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由；

②设G是AD的中点，则在平面PBC上是否存在点F，使得FG⊥平面PBC？若存在，确定点F的位置，若不存在，请说明理由.

20．（本大题共12分）甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为P（P>
）,且每局胜负相互独立，已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为
，若右

图为统计这次比赛的局数n和甲、乙的总得分数S、T的程序框图，其中如果甲获胜则输入a=1,b=0;如果乙获胜，则输入a=0,b=1.

（1）在右图中，第一，第二个判断框应分别填写什么条件？

（2）求P的值；

（3）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数 学期望Eξ.

21．（本大题共13分）如图，已知椭圆C：
，点B坐标为(0,－1)，过点B的直线交椭圆C于y轴左侧另外一点A，且线段AB的中点E在直线y=x上.

（1）求直线AB的方程；

（2）若点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N,直线BM交椭圆于另外一点Q.

①证明：
为定值；

②证明：A、Q、N三点共线.

22．（本大题共14分）函数f(x)=sinx.

（1）令
的解析式；

（2）若
上恒成立，求实数a的取值范围；

（3）证明：