一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设集合
，
，则
（ ）

A．
B．

C．
D．

2．设i是虚数单位，复数z＝cos45°－i·sin45°，则z2 = （ ）

A．
B．

C．
D．1

3．已知等比数列
的公比为正数，且
·
=2
，
=1，则
= （ ）

A．
B．

C．
D．2

4．下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线
对称的是 （ ）

A．
B．

C．
D．

5．已知
是两个不同的平面，
是两条不同的直线，则下列命题不正确的是 （ ）

A．若
，则

B．若
，则

C．若
，则

D．若
，则

6．已知
与
均为单位向量，其夹角为
，则命题：
，是命题：
的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．在线段AB上任取一点P，以P为顶点，B为焦点作抛物线，则该抛物线的准线与线段AB有交点的概率是 （ ）

A．　　 B．　　

C．　　 D．

8．若实数x，y满足不等式组
，且、为整数，则
的最小值为（ ）

A．14 B．16

C．17 D．19

9．若函数y =
有最小值，则a的取值范围是 （ ）

A．0

C．1

10．已知双曲线
的左、右焦点分别是
，正三角形
的一边
与双曲线左支交于点，且
，则双曲线
的离心率的值是 （ ）

A．
　 B．

C．
D．

第Ⅰ卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．函数
的定义域是 ．

12．已知数列
中，
，
，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项的值
，则判断框内的条件是 ．

第12题图 第13题图

13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．

14．若函数
满足
，且
时，
，函数
，则函数
在区间
内的零点的个数为 ．

15．给出以下四个结论：

① 函数
的对称中心是
；

② 若关于的方程
在
没有实数根，则
的取值范围是
；

③ 在△
中，“
”是“△
为等边三角形”的必要不充分条件；

④ 若将函数
的图像向右平移
个单位后变为偶函数，则
的最小值是
；其中正确的结论是：

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）

16．（本小题满分12分）

某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：

一年级

二年级

三年级



男同学

A

B

C



女同学

X

Y

Z



现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）．

（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；

（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．

17．（本小题满分12分）

中，三个内角A、B、C所对的边分别为、
、，若
，
．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）已知
，求函数
的最大值．

18．（本小题满分12分）

在三棱柱ABC -A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．

（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；

（Ⅱ）求证：C1F∥平面ABE；

（Ⅲ）求三棱锥E - ABC的体积．

19．（本小题满分12分）

设公差为
（
）的等差数列
与公比为（
）的等比数列
有如下关系：
，
，
．

（Ⅰ）求
和
的通项公式；

（Ⅱ）记
，
，
，求集合
中的各元素之和．

20．（本小题满分13分）

如图，在平面直角坐标系
中，抛物线的顶点在原点，焦点为F（1，0）．过抛物线在轴上方的不同两点、作抛物线的切线
、
，与轴分别交于、两点，且
与
交于点
，直线
与直线
交于点．

（Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）求证：
轴；

（Ⅲ）若直线
与轴的交点恰为F（1，0），求证：直线
过定点．

21．（本小题满分14分）

已知
．

（Ⅰ）求函数
在
上的最小值；

（Ⅱ）对一切
，
恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）证明：对一切
，都有
成立．



当
时，

函数
取得最大值3 ……12分

18．解：（1）证明：在三棱柱ABC - A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，

所以BB1⊥AB．

又因为AB⊥BC，

所以AB⊥平面B1BCC1．

所以平面ABE⊥平面B1BCC1．…………4分

（2）证明：取AB的中点G，连接EG，FG．

因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点，

所以FG∥AC，且FG＝AC，EC1＝A1C1．

因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，

所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG．

又因为EG?平面ABE，C1F?平面ABE，所以C1F∥平面ABE．…………8分

（3）因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝＝．

所以三棱锥E - ABC的体积V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝．…………12分

19．解：（I）由已知
，
…………2分

得
或
…………4分

又



…………6分

，
…………7分

（Ⅱ） 集合中的元素和为：

集合中的元素和为：
…………9分

集合与集合的相同元素和为：
…………11分

集合
中的元素和为：
…………12分

21．（1）
，当
，
，
单调递减，当
，
，
单调递增．

①
，t无解；

②
，即
时，
；

③
，即
时，
在
上单调递增，
；

所以
．…………4分

（2）
，则
， …………5分

设
，则
，
，
，
单调递减，
，
，
单调递增，所以
．…………9分

因为对一切
，
恒成立，所以
．　　…………10分　

（3） 问题等价于证明
，…………11分

由⑴可知
的

最小值是
，当且仅当
时取到．…………12分　　　　　　　　　　　　　　　　　　

设
，则
，易得
，当且仅当
时取到，从而对一切
，都有
成立．