一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集
，集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．在复平面内，复数
对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．一个小组的3个学生在分发数学作业时，从他们3人的作业中各随机地取出2份作业，则每个学生拿的都不是自己作业的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知双曲线
的两条渐近线的夹角为
，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B． C．
D．

5．已知函数
是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）

①
；②
；③
；④
．

A．①③ B．②③ C．①④ D．②④

6．某同学想求斐波那契数列0，1，1，2，…（从第三项起每一项

等于前两项的和）的前10项的和，他设计了一个程序框图，那

么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是（ ）

A．
B．

C．
D．

7．已知抛物线C：
焦点为F，点P是C上一点，若△POF

的面积为2，则
（ ）

A．
B．
C．
D．4

8．一个体积为
的四棱锥的主视图和俯视图如图所示，则该棱锥

的左视图的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．函数
的图象大致为（ ）

10．某人在x天观察天气，共测得下列数据：①上午或下午共下雨7次；②有5个下午晴；③有6个上午晴；④ 当下午下雨时上午晴.则观察的x天数为（ ）

A．11 B．9 C．7 D．不能确定

11．如图是函数
图象的一部分，对不同的
，

若
，有
，则的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知数列
满足
，
是其前n项和，若
，则
（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．

13．设
，其中实数
满足
，若的最大为
，则的最小值为 ．

14．设数列
满足
，点
对任意的
，都有向量
，则数列

的前项和
.

15．A、B、C三点在同一球面上，
，
2，且球心O到平面ABC的距离为1，

则此球O的体积为 ．

16. 设函数
其中
，若动直线
与函数
的图像

有三个交点，它们的横坐标分别为
，则
的范围为 ．

三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在
中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知

（Ⅰ）求证：
成等差数列；

（Ⅱ）若
求
.

18．(本小题满分12分)

为了解某校高三毕业生报考体育专业学生的体重（单位：千克），将他们的体重数据整理后得到如下频率分布直方图.已知图中从左到右前3个小组的频率之比为
，其中第二小组的频数为12．

（Ⅰ）求该校报考体育专业学生的总人数n；

（Ⅱ）已知A、a是该校报考体育专业的两名学生，A的体重小于

55千克， a的体重不小于
千克．现从该校报考体育专业

的学生中按分层抽样分别抽取小于
千克和不小于
千克

的学生共6名，然后在从这6人中抽取体重小于
千克的

学生2人，体重不小于
千克的学生1人组成3人训练组，

求A在训练组且a不在训练组的概率.

19．(本小题满分12分)

四棱锥P – ABCD中，

平面
，E为PD中点，PA=2AB=2．

（Ⅰ）求证CE // 平面PAB；

（Ⅱ）求三棱锥P – ACE体积．

20．(本小题满分12分)

已知椭圆E：
的焦距为2，A是E的右顶点，P、Q是E上关于原点对称的两点，且直线PA的斜率与直线QA的斜率之积为
．

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）过E的右焦点作直线l与E交于M、N两点，直线MA、NA与直线
分别交于C、D两点，记△ACD与△AMN的面积分别为
、
，且
，求直线l的方程．

21．(本小题满分12分)

函数
，若曲线
在点
处的切线与直线
垂直（其中为自然对数的底数）.

（Ⅰ）若
在
上存在极值，求实数的取值范围；

（Ⅱ）求证：当
时，
.

请考生在第22、23、24两题中任选一题做答，并用2B铅笔将答题卡上把所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分．

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于点H．

（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；

（Ⅱ）若
，求△BDF外接圆的半径．

23．（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点与直角坐标第的原点重合，极轴与直角坐标系的轴的正半轴重合．点A、B的极坐标分别为
、
（
），曲线
的参数方程为
为参数
．

（Ⅰ）若
，求
的面积；

（Ⅱ）设为
上任意一点，且点到直线
的最小值距离为，求的值．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数
．

（Ⅰ）当
时，解不等式
；

（Ⅱ）若不等式
对任意
恒成立，求实数的取值范围．

2015年高考模拟试题

文科数学参考答案

（2）∵
∴
………8分

又
………10分

由（1）得：
∴

∴
即
………12分

18．解析：（1）由图知第四组的频率为
，

第五组的频率为.
………………………………………………………3分

又有条件知前三组的频率分别为
，所以
…………………5分

（2）易知按分层抽样抽取6名体重小于55千克和不小于70千克的学生中，体重小于55千克的学生4人，记为
体重不小于70千克的学生2人，记为
………………………6分

从中抽取满足条件的所有结果有：
，

共12种………………10分

所求事件的概率为
………………………………………………………………12分

19．解析：（1）延长DC、AB交于N，连接PN

为ND中点

为PD中点，

……………………………………6分

（2）

E为PD中点

到平面距离为

……………………………………12分

20．解析：（1）设
，则
……………………………………1分

，依题意有

又
，所以解得

故的方程为
……………………………………………………………………5分

（2）设直线MN的方程为
，代入E的方程得
……6分

设
，则
…………………………7分

直线MA的方程为
，把
代入，

得
，同理
…………………………………………………8分

所以

所以
…………………………………………………………………9分

…………………………………………………………10分

，所以
，解得
…………………………………11分

故直线l的方程为
或
……………………………………………12分

21. 解析：（1）∵

由已知
∴
得
………2分

∴

当
为增函数；当
时，
，
为减函数．

∴
是函数
的极大值点 ………4分

又
在
上存在极值

∴
即

故实数的取值范围是
………5分

即为
………6分

令
，则

再令
则

∵
∴
∴
在
上是增函数

∴
∴

∴
在
上是增函数

∴
时，
故
………9分

令

，则

∵
∴
∴
即

上是减函数

∴
时，
………11分

所以
， 即
………12分

22．解析：（1）因为
为圆
的一条直径，所以
…………………………………2分

又
，所以
四点共圆…………………………………………………4分

(2)因为AH与圆B相切于点F，

由切割线定理得
，代入解得AD=4………………………………………5分

所以
……………………………………………6分

又△AFB∽△ADH，所以
………………………………………………………7分

由此得
………………………………………………………………8分

连接BH，由（1）知，BH为△BDF外接圆的直径，
……9分

故△BDF的外接圆半径为
…………………………………………………………10分

23．解析：（1）
…………………………………………………4分

（2）依题意知圆心到直线
的距离为3…………………………………………………5分

当直线
斜率不存在时，直线
的方程为
，

显然，符合题意，此时
……………………………………………………………6分

当直线
存在斜率时，设直线
的方程为