上饶市横峰中学2016届高三5月适应性考试

数学（文）试题

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）

第I卷选择题（共60分）

一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1．复平面内表示复数z＝cos2＋i sin3的点位于( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合A＝{3，
}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则集合A∪B的所有元素的和等于( )

A．1 B．5 C．6 D．1或6

3. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )

A．
B．
C．
D．

4．函数(x)=sinx(sinx++
cosx)的最大值为( )

A. 2 B．1+
C．
D．1

5.已知等比数列
的公比为q，则’’
”是.
为递减数列的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6.执行右边的程序框图，如果输入a＝4，那么输出的n的值为 ( )

A．2 B．3 C．4 D．5

7. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )

A.1升 B.
升 C.
升 D.
升

8.设
、
是双曲线
的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使
（O为坐标原点）且

则
的值为( )[:]

A．2 B．
C．3 D．

9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，若对于任意x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x+1)，则f(－2013)＋f(2014)的值为 ( )

A 2 B 1 C －1 D －2

10．如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )

A．2 B．3 C．
D．6

11．已知点A（1，1），B（2，1），C（1，2），若λ

∈[－1，2]，μ∈[2，3]，则｜λ
＋μ
｜

的取值范围是( )

A．[2，10] B．[
，
] C．[1，5] D．[2，
][:]

12.已知
为自然对数的底数，若对任意的
，总存在唯一的
，使得
成立，则实数
的取值范围是 ( )

A
B
C
D

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个考生必须做答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分).

13．已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=
，则球O的表面积等于 ．

14.设向量
，向量
，向量
，则向量
．

15．在区间
上随机地取一个数
,则事件“
”发生的概率为 ．

16．已知函数
的部分图象如右图,其中

分别是
的角
所对的边,
,则
的面积
= .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）已知等比数列
的公比
，前3项和
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）若函数
在
处取得最大值
，求函数
在区间
上的值域.

18. （本小题满分12分）从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）；第二组[160，165）；…；第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列.

（1）估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；

（2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；

（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人，记他们的身高分别为x、y，求满足“|x﹣y|≤5”的事件的概率．

19.（本小题满分12分）如图，直三棱柱
中，
，
，
分别为
，
的中点.

（1）求证：
平面
；

（2）若
，求点
到平面
的距离.

20.（本小题满分12分）如图，已知椭圆
的四个顶点分别为
,左右焦点分别为
，若圆C：
(
)上有且只有一个点
满足
，（1）求圆C的半径
；（2）若点
为圆C上的一个动点，直线
交椭圆于点
,交直线
于点
,求
的最大值；

21.（本小题满分12分）已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若不等式
在
有解，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）证明：函数
和
在公共定义域内，
.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号。

22、（本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明与选讲

如图，在
，以
为直径的圆
交
于点
，点
是
边的中点，连接
交圆
于点
.

(1)求证：
是圆
的切线；

(2)求证：

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
为参数），P为C1上的动点，Q为线段OP的中点．

（Ⅰ）求点Q的轨迹C2的方程；

（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴（两坐标系取相同的长度单位）的极坐标系中，N为曲线ρ=2sinθ上的动点，M为C2与x轴的交点，求|MN|的最大值．

24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
．

（1）若
，求不等式
的解集；

（2）若方程
有三个不同的解，求
的取值范围．

参考答案

一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

题号

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 7

 8

 9

 10

 11

 12



答案

B

D

B

C

D

B

B

A

C

A

D

B



二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分).

13 4π 14
15
16

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.解：（1）由
………………2分

……………………6分

（2）

………………………9分

…………………………12分

18. 解：（1）由频率分布直方图得：

前五组频率为（0.008+0.016+0. 04+0.04+0.06）×5=0.82，

后三组频率为1﹣0.82=0.18，人数为0.18×50=9，

∴这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为800×0.18=144．（3分）（2）由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5=0.04，人数为0.04×50=2，

设第六组人数为m，则第七组人数为9﹣2﹣m=7﹣m，

又m+2=2（7﹣m），解得m=4，所以第六组人数为4，

第七组人数为3，频率分别等于0.08，0.06.
分别等于0.016，0.012．其完整的频率分布直方图如下图．…（7分）

（3）由（2）知身高在[180，185）内的人数为4，设为a、b、c、d，

身高在[190，195]内的人数为2，设为A、B，若x，y∈[180，185）时，有ab、ac、ad、bc、bd、cd共6种情况；

若x，y∈[190，195] 时，有AB共1种情况；

若x，y分别在[180，185）和[190，195]内时，有aA、bA、cA、dA、aB、bB、cB、dB，共8种情况．所以基本事件总数为6+1+8=15，…．（10分）

事件“|x﹣y|≤5”所包含的基本事件个数有6+1=7，

∴P（|x﹣y|≤5）=
．…．（12分）

19.

（2）连结
，
，则
∵
，
，
是
的中点， ∴
，…………………9分

设点
到平面
的距离为
，∴
是边长为
的正三角形，

，∴
，∴

∴点
到平面
的距离为
.…………………12分

20.:]

解（1）依题意得，

设点
，由
得：
，化简得
，

∴点
的轨迹是以点
为圆心，
为半径的圆， 3分

又∵点
在圆
上并且有且只有一个点
，即两圆相切，

当两圆外切时，圆心距
，成立

当两圆内切时，圆心距
，不成立

∴
5分

（2）设直线
为
，

由
得
6分

联立
，消去
并整理得：
，

解得点
的横坐标为
， 7分

把直线
：
与直线
：
联立解得点
横坐标

所以
(∵求最大值，显然
为正才可能取最大，)

当且仅当
时，取等号，

∴
的最大值为
； 12分

21.解：（Ⅰ）
…………1分

由

…………3分

综上所述，
……4分

（Ⅱ）由题意：

…………5分

设
，
………………6分

因为
，且
时，
，

所以
，即
，故
在区间
上单调递减，

所以
，

因此
﹒ ……………………8分

（Ⅲ）方法一：
与
的公共定义域为
，

，…………………………9分

设
，
，因为
，
在区间
上单调递增，
， ………………………11分

又设
，
，由（Ⅰ）知
是
的极大值点， 即
，所以
，

在函数
和
公共定义域内，
﹒ …………………12分

方法二：