2016届高三年级第七次月考数学（文科）试卷

一、选择题（12×5=60分）

1．设全集
，
，
（ ）

A．
B．
C．
D．

2、已知向量
=（2，1），
=（﹣1，k），
⊥
，则实数k的值为( )

A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1

3、设i是虚数单位，若复数a﹣
（a∈R）是纯虚数，则a的值为（　　）

A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3

4、从数字0，1，2，3，4，5中任取两个数组成两位数，其中奇数的概率为（　　）

A．
B．
C．
D．

5、若双曲线
（
，
）的一条渐近线经过圆
的圆心，则此双曲线的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

6、若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20等于( )

A．50 B．25 C．75 D．100

7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）

A．
B．8 C．
D．

8、已知奇函数
，

则
( )

A．
B．

C．
D．

9、已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜
图象相邻对称轴的距离为
，一个对称轴中心为（﹣
，0），为了得到g（x）=cosωx的图象，则只要将f（x）的图象( )

A．向右平移
个单位 B．向右平移
个单位

C．向左平移
个单位 D．向左平移
个单位

10、已知
，
满足约束条件
，若
的最大值为
，则a的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

11、已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=
且f（x+2）=f（x），g（x）=
，则方程f（x）=g（x）在区间
上的所有实根之和为( )

A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．0

12、抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则
的最小值为（　　）

A．
B．
C． 1 D．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13、已知球的表面积为64π，用一个平面截球，使截面圆的半径为2，则截面与球心的距离是 。

14、设等差数列
的前n项和为
，若
，
，则
。

15、某程序流程图如下图所示，依次输入函数
，
，
，
，执行该程序，输出的数值p= 。

16、若函数
，
，关于x的不等式
对于任意
恒成立，则实数a的取值范围是 。

三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17、（本小题满分12分）已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．若
,

（Ⅰ）求角C；

（Ⅱ）若
，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．

18.（本小题满分12分）在直三棱柱
中，
，
，且异面直线
与
所成的角等于
，设
.

(1) 求
的值；

(2) 求三棱锥
的体积．

19．（本题满分12分）在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：

表1：男生 表2：女生

等级

优秀

合格

尚待改进



频数

15

x

5



等级

优秀

合格

尚待改进



频数

15

3

y





（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；

（2）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．

男生

女生

总计



优秀









非优秀









总计









参考数据与公式：

K2=
，其中n=a+b+c+d．

临界值表：

P（K2＞k0）

0.1

0.05

0.01



k0

2.706

3.841

6.635



20、(本小题满分12分) 在平面直角坐标系中，已知椭圆
，设点
是椭圆
上一点，从原点
向圆
作两条切线，切点分别为
．

(1) 若直线
互相垂直，且点
在第一象限内，求点
的坐标；

(2) 若直线
的斜率都存在，并记为
，求证：
．

21．(本小题满分12分) 已知函数
，直线
.

（Ⅰ）求函数
的极值；

（Ⅱ）求证：对于任意
，直线
都不是曲线
的切线；

（Ⅲ）试确定曲线
与直线
的交点个数，并说明理由.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线PQ相交于点Q，若AQ=6，AC=5．

（Ⅰ）求证：QC2﹣QA2=BC?QC；

（Ⅱ）求弦AB的长．

23、（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程）

在极坐标系中，曲线C：

， C与
有且仅有一个公共点．

（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=
，求|OA|+|OB|的最大值．

24、（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲）

已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）

（Ⅰ）当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．

（Ⅱ）如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．

2016届高三年级第七次月考数学试题（文科）答题卡

一、选择题（每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案



























二、填空题（每小题5分，共20分）

13、 14、 15、 16、

三、解答题（共6个小题，共70分）

17、（12分）

18、（12分）

19、（12分）

男生

女生

总计



优秀









非优秀









总计











20、（12分）

21、（12分）

选做题

22□ 23□ 24□（10分）

22题图

2016届高三年级第七次月考数学（文科）试卷答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

A

D

B

B

A

C

A

D

C

B

D



13、2
14、63 15、
16、

17、解：（I）∵
，由正弦定理可得sinCsinA=
sinAcosC，

sinA≠0，

∴
， 得
，

∵C∈（0，π）， ∴
．

（II）∵sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=5sin2A，

∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，∵△ABC为斜三角形，∴cosA≠0，∴sinB=5sinA，

由正弦定理可知b=5a? （1）由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，

∴
，（2）由（1）（2）解得a=1，b=5，

∴
．

18. 解：，(1)∵BC∥B1C1，∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，

即∠A1BC =60(，…………………………………………………………………………2分

又AA1⊥平面ABC，AB=AC，则A1B=A1C，∴△A1BC为等边三角形，…………4分

由
，

，

∴
；……………………………………………6分

(2)连接B1C，则三棱锥B1–A1BC的体积等于三棱锥C–A1B1B的体积，

即：
，………………………………………………………………8分

△
的面积
，……………………………………………………………10分

又
平面
，

所以
，所以
．………………………………12分

19. 解：解：（1）设从高一年级男生中抽出m人，则
=
，m=25，

∴x=25﹣20=5，y=20﹣18=2，

表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，

则从这5人中任选2人的所有可能结果为：（a，b）（a，c）（b，c）（A，B）（a，A），（a，B），（b，A）（，b，B），（c，A）（c，B），共10种．

设事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，

则C的结果为：（a，A），（a，B），（b，A）（，b，B），（c，A）（c，B），共6种．

∴P（C）=
=
，故所求概率为
．

男生

女生

总计



优秀

15

15

30



非优秀

10

5

15



总计

25

20

45



（2）

∵1﹣0.9=0.1，p（k2＞2.706）=0.10，

而K2=
=
=
=1.125＜2.706，

所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．

20. 解：(1)由题意得：圆
的半径为
，因为直线
互相垂直，且与圆
相切，所以四边形OPRQ为正方形，故
，即
① ………………2分

又
在椭圆C上，所以
②…………………………………3分

由①②及
在第一象限，解得
,…………………………………………5分

(2)证明：因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x均与圆R相切，……………………6分

所以
，化简得

同理有
………………………………………………8分

所以k1、k2是方程
的两个不相等的实数根，

所以
，………………………………………………………………………9分

又因为
在椭圆C上，所以
，

即
，所以
，即2k1k2+1=0．………………………12分

21. 解：函数
定义域为
， ……………… 1分

求导，得
， ……………… 2分

令
，解得
．

当
变化时，
与
的变化情况如下表所示：

















0







↗

↘



↗



 所以函数
的单调增区间为
，
，单调减区间为
，………… 3分

所以函数
有极小值
，无极大值． ……………… 4分

（Ⅱ）证明：假设存在某个
，使得直线
与曲线
相切，…………… 5分

设切点为
，又因为
，

所以切线满足斜率
，且过点
，所以
，… 7分

即
，此方程显然无解，所以假设不成立．

所以对于任意
，直线
都不是曲线
的切线. ……………… 8分

（Ⅲ）解：“曲线
与直线
的交点个数”等价于“方程
的根的个数”.

由方程
，得
. ……………… 9分

令
，则
，其中
，且
.考察函数
，其中
，

因为
时，所以函数
在
单调递增，且
. ………… 11分

而方程
中，
，且
.

所以当
时，方程
无根；当
时，方程
有且仅有一根，

故当
时，曲线
与直线
没有交点，而当
时，曲线
与直线
有且仅有一个交点. ……………… 12分

22、解 （Ⅰ）证明：∵PQ与⊙O相切于点A，

∴由切割线定理得：QA2=QB?QC=（QC﹣BC）?QC=QC2﹣BC?QC．…（4分）

∴QC2﹣QA2=BC?QC．…（5分）

（Ⅱ）解：∵PQ与⊙O相切于点A，∴∠PAC=∠CBA，

∵∠PAC=∠BAC，∴∠BAC=∠CBA，∴AC=BC=5，…（6分）

又知AQ=6，由（Ⅰ） 可知QA2=QB?QC=（QC﹣BC）?QC，∴QC=9．…（8分）

由∠QAB=∠ACQ，知△QAB∽△QCA，∴
，…（9分）∴
．…（10分）

23、解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．

∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；

由l：ρcos（θ﹣
）=
，展开为
，

∴l的直角坐标方程为x+
y﹣3=0．

由直线l与圆C相切可得
=a，解得a=1．

（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+
，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+
）

=3cosθ﹣
sinθ=2
cos（θ+
），当θ=﹣
时，|OA|+|OB|取得最大值2
．

24、解：①当a=1时，f（x）=|2x﹣1|+x﹣5=
．

由
解得x≥2； 由
解得x≤﹣4．

∴f（x）≥0的解为{x|x≥2或x≤﹣4}．

?②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5．

作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，函数y=f（x）有两个不同的零点．故a的取值范围是（﹣2，2）．

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