2016届高三年级第九次月考数学（理科）试卷（4.30）

命题人：黄义生 沈文斌

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知集合
,
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知i是虚数单位，且
，且
的共轭复数为
，则
=（ ）

A．0 B．
C．
D．

3.已知函数
的定义域为
，则
的定义域为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知数列
的前
项和为
，且满足
,

，则

（ ）

A．384 B．768 C．
D．

5．执行如右图所示的程序框图，若输入的实数
是函数

的最大值，则输出的结果是（ ）

A．18

B．12

C．6

D．4

6．已知
满足不等式组
，且
(
为常数)

的最大值为2，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．2014年11月1日早上，“嫦娥五号试验星”成功返回地面，标志着我国探月工程三期任务圆满完成.为了让大家更好的了解我国的探月工程，某班特邀科技专家进行讲座，对我国探月工程进行了详细的分析后，由5名男生、3名女生组成一个研讨兴趣小组，若从中选取4名同学，每个同学随机选取专家老师指定的3个问题中的一个进行发言，则被选取的同学中恰好有2名女生，且3个问题都有人发言的不同情况有（ ）种

A．720 B．840 C．960 D．1080

8．某几何体的三视图如右图所示, 正视图、 侧视图、 俯视图

都是边长为1 的正方形, 则此几何体的外接球的表面积为（ ）

A．3π B．4π C．2π D．

9．已知双曲线

的虚轴端点和实轴端点

都在同一个圆上，过该双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线，

则该直线被双曲线截得的弦长与焦距之比为（ ）

A．
B．
C．2 D．

10．已知
，把
的图象向右平移
个单位，再向上平移2个单位，得到
的图象，若对任意实数
，都有
成立，则
（ ）

A．4 B．3 C．2 D．

11．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使DE=CD，若点P是以点A为圆心，AB为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设

向量
，则
的最小值为（ ）

A．
B．

C．
D．

12．已知函数
有两个极值点
，
，且
，则（ ）

A．
B．

C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.）

13．已知函数
,若
，则
在
上的最小值为 .

14．已知等差数列
的前
项和为
，且
成等比数列，则
.

15．过抛物线
上一点
(不与原点
重合)作抛物线的切线
，过
作
的垂线
，若
恰好经过
，则点
的坐标为 .

16．已知函数
的图象与直线
有且只有一个交点，则实数
的取值范围是 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．（本小题满分12分）设
的三个内角
所对的边分别为
，点
为
的外接圆的圆心，若满足

（1）求角
的最大值；

（2）当角
取最大值时，已知
，点
为
外接圆圆弧上一点，若
，求
的最大值.

18．（本小题满分12分）某校进行教工趣味运动会，其中一项目是投篮比赛，规则是：每位教师投二分球四次，投中三个可以再投三分球一次，投中四个可以再投三分球三次，投中球数小于3则没有机会投三分球，所有参加的老师都可以获得一个小奖品，每投中一个三分球可以再获得一个小奖品。某位教师二分球的命中率是
，三分球的命中率是
.

（1）求该教师恰好投中四个球的概率；

（2）记该教师获得奖品数为
，求随机变量
的分布列和数学期望.

19．（本小题满分12分）已知菱形
，
，半圆
所在平面垂直于平面
,点
在半圆弧上.（不同于B,C）.

（1）若
与平面
所成角的正弦值为
，求出点
的位置；

（2）是否存在点
,使得
,若存在，求出点
的位置，若不存在，说明理由.

20．（本小题满分12分）给定椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，称圆C1：x2＋y2＝a2＋b2为椭圆C“伴随圆”． 已知点
是椭圆
上的点.

（1）若过点
的直线
与椭圆
有且只有一个公共点，求
被椭圆
的伴随圆
所截得的弦长；

（2）椭圆
上的
两点满足
（其中
是直线
的斜率），求证：
三点共线.

21．（本小题满分12分）对于函数
，若在其定义域内存在
，使得
成立，则称
为函数
的“反比点”.已知函数
，

（1）求证：函数
具有“反比点”，并讨论函数
的“反比点”个数；

（2）若
时，恒有
成立，求
的最小值.

请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22．（本小题满分10分）如图，在三角形ABC中，
=90°，CD⊥AB于D，以CD为直径的圆分别交AC、BC于E、F。

（1）求证：
；

（2）求证：
.

23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，椭圆
的参数方程为
（
为参数），已知以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线
的极坐标方程为
（
）（注：本题限定：
，
）

（1）把椭圆
的参数方程化为极坐标方程；

（2）设射线
与椭圆
相交于点
，然后再把射线
逆时针90°，得到射线
与椭圆
相交于点
，问
是否为定值，若为定值求出此定值，若不为定值请说明理由．

24．（本小题满分10分）已知函数

（1）解不等式；
；

（2）已知
．且对于
，
恒成立，求实数
的取值范围.

2016届高三年级第九次月考数学（理科）试卷参考答案

1.B 2.D 3.C 4.A 5.C 6.D 7.D 8.A 9.B 10.A 11.B 12.D

13. 4 14.
15.
或
16. a>-2

17. 解：（1）
……………3分

角
的最大值为
…………………6分

（2）由(1)及
得三角形
为等边三角形，如图建立平面直坐标系，设角

则点

因为
，

时，
的最大值为1……………………………………………………..12分

18.解：（Ⅰ）该位教师投中四个球可以分为两个互斥事件，投中三个二分球一个三分球、投中四个二分球，所以概率是

； ……………4分

（Ⅱ）
可能取值有
，

，

，

，

， ……………9分

所以
的分布列是

1

2

3

4















数学期望是

。 ……………12分

19.解(1) P为圆弧中点或者靠近点B的三等分点,计算如下：

设角
，
,

平面
的一个法向量为
，

P为圆弧中点或者靠近点B的三等分点…………………………………6分

（设“长度计算的”和“非向量法的”答题酌情给分）

（2）

，
，

，

若
则
，
，则与
矛盾，

…………………………………12分

【注意】（设“长度计算的”和“非向量法的”答题酌情给分）

20.解：（1）因为点
是椭圆
上的点.

…………………………………1分

当直线
的斜率不存在时:显然不满足
与椭圆
有且只有一个公共点

当直线
的斜率不存在时:设直线
与椭圆
联立得

由直线
与椭圆
有且只有一个公共点得

解得
，由对称性取直线
即
…………………3分

圆心到直线
的距