浙江省2016届高三预测金卷

数学文

本试卷分第I卷和第II卷两部分．第I卷1至3页，第II卷4至6页，满分150．

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的准考号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．

3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回 ．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知全集U=R，M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|x＜1}，那么M∪N=（　　）

A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|x＜﹣2} D．{x|x≤2}

2.设
，
，则“
”是“
”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3.若某个几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（　　）

　 A．
cm3 B．
cm3 C．
cm3 D．
cm3

4.若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（　　）

A．
B．
C．
D．

5.设数列{an}满足：a1=2，an+1=1﹣
，记数列{an}的前n项之积为Tn，则T2016的值为（　　）

A．﹣
B．﹣1 C．
D．1

6.设实数x，y满足约束条件
，则z=
的取值范围是（　　）

A．[
，1] B．[
，
] C．[
，
] D．[
，
]

7.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2
2列联表进行独立性检验，经计算K2=7．069，则所得到的统计学结论为：有多大把握认为“学生性别与支持该活动有关系” （ ）

P(K
≥k0)

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001



k。

2.706[

3.841

5.024

6.635

10.828



 A. 0．1％ B. 1％ C. 99％ D. 99．9％

8.函数
的图象大致是

二．填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）

9. 已知直线
,
,则
的值为 , 直线
间的距离为 .

10.钝角
的面积为
，
则角
,
.

11.设等差数列
的前
项和为
，若
，则数列
的公差
　 　；
　 　．

12.若实数
、
满足
且
的最小值为
，则实数
的值为　　 　　。

13.已知函数
在
是单调函数，则实数
的取值范围是__________

14.设不等式组
所表示的平面区域为
，则区域
的面积为 ；若直线
与区域
有公共点， 则
的取值范围是 ．

15.下列命题为真命题的是___________．（用序号表示即可）

①cos1>cos2>cos3；

②若
=
且
=n+3（n=1、2、3），则
；

③若
、
、
分别为双曲线
=1、
=1、
=1的离心率，则
>
>
；

④若
,则

三，解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（
sinB﹣cosB）（
sinC﹣cosC）=4cosBcosC．

（Ⅰ） 求角A的大小；

（Ⅱ） 若sinB=psinC，且△ABC是锐角三角形，求实数p的取值范围．

17.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，
，

（Ⅰ）证明PA∥平面BDE；

（Ⅱ）证明AC⊥平面PBD；

（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．

18.函数f（x）=2ax2﹣2bx﹣a+b（a，b∈R，a＞0），g（x）=2ax﹣2b

（1）若
时，求f（sinθ）的最大值；

（2）设a＞0时，若对任意θ∈R，都有|f（sinθ）|≤1恒成立，且g（sinθ）的最大值为2，求f（x）的表达式．

19.已知椭圆C：
（a＞b＞0）的右焦点F1与抛物线y2=4x的焦点重合，原点到过点A（a，0），B（0，﹣b）的直线的距离是
．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设动直线l=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，过F1作PF1的垂线与直线l交于点Q，求证：点Q在定直线上，并求出定直线的方程．

20.已知函数f（x）=ax2﹣ex（a∈R）

（Ⅰ）当a=1时，判断函数f（x）的单调区间并给予证明；

（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：﹣
＜f（x1）＜﹣1．

数学文答案

1.D

【考点】并集及其运算．

【专题】计算题．

【分析】由M与N求出两集合的并集即可．

【解答】解：∵M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|x＜1}，

∴M∪N={x|x≤2}．

故选D

【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．

2.A

3.B

【考点】： 由三视图求面积、体积．

【专题】： 计算题；空间位置关系与距离．

【分析】： 由三视图可得该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，根据标识的各棱长及高，代入棱锥体积公式可得答案．

解：由题意，该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，

所以V=
=
cm3，

故选：B．

【点评】： 本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知分析出几何体的形状及各棱长的值是解答的关键．

4.C

考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

专题： 三角函数的求值．

分析： 利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值．

解答： 解：函数f（x）=sin2x+cos2x=
sin（2x+
）的图象向右平移φ的单位，

所得图象是函数y=
sin（2x+
﹣2φ），

图象关于y轴对称，可得
﹣2φ=kπ+
，

即φ=﹣
，

当k=﹣1时，φ的最小正值是
．

故选：C．

点评： 本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．

5.D

【考点】数列的求和．

【专题】计算题；函数思想；数学模型法；点列、递归数列与数学归纳法．

【分析】由数列递推式及首项求出数列前几项，可得数列{an}是以3为周期的周期数列，由此求得T2016的值．

【解答】解：由a1=2，an+1=1﹣
，得

，
，
，…

由上可知，数列{an}是以3为周期的周期数列，

又
，且2016=3×672．

∴T2016=（﹣1）672=1．

故选：D．

【点评】本题考查数列递推式，关键是对数列周期的发现，是中档题．

6.D

考点： 简单线性规划．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义以及斜率公式的计算，即可求z的取值范围．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．

z=
的几何意义是区域内的点（x，y）到定点D（﹣1，0）的斜率，

由图象知BD的斜率最大，CD的斜率最小，

由
，解得
，即B（
，
），即BD的斜率k=
=
，

由
，解得
，即C（
，
），即CD的斜率k=
=
，

即
≤z≤
，

故选：D．

点评： 本题主要考查线性规划以及直线斜率的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

7.C

8.B

9.
；

10.
;

11.

【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2

由
，
=12，得d=
，
=
，则
20.

【思路点拨】根据等差数列的通项公式和性质求出公差和
。

12.【知识点】线性规划

由题得：b＞0，
对应的可行域如图：

，
由图得，当目标函数过B时，z=2x+y有最小值，所以
，解得
故答案为
.

【思路点拨】画出满足条件的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数
的方程组，消参后即可得到
的取值．

13.【知识点】函数的单调性

若函数在
是单调减函数，则需满足：
，若函数在
是单调增函数则需满足：
故答案为
.

【思路点拨】分段函数在整个定义域内单调需满足每段上单调，且根据函数图象的特征知，从左向右看图象应一直上升或下降，从而函数在端点处的函数值有一定大小关系.

14.

15.①③

16.【考点】： 三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．

【专题】： 三角函数的求值；解三角形．

【分析】： （Ⅰ） 由已知及三角函数中的恒等变换应用得
，从而可求tan（B+C）=﹣
，即可解得A的值．

（Ⅱ） 由已知得
，由△ABC为锐角三角形，且
，可求tanC的范围，即可解得实数p的取值范围．

解：（Ⅰ） 由题意得

…（4分）

∴
…（7分）

（Ⅱ）
…（10分）

∵△ABC为锐角三角形，且

∴
…（14分）

∴
．…（15分）

【点评】： 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦定理的应用，属于基本知识的考查．

17.考点：空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面所成的角．

专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．

分析：（1）欲证PA∥平面BDE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与平面BDE内一直线平行，设AC∩BD=H，连接EH，根据中位线定理可知EH∥PA，而又HE?平面BDE，PA?平面BDE，满足定理所需条件；

（2）欲证AC⊥平面PBD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC与平面PBD内两相交直线垂直，而PD⊥AC，BD⊥AC，PD∩BD=D，满足定理所需条件；

（3）由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，则∠CBH为直线与平面PBD所成的角，在Rt△BHC中，求出此角即可．

解答： 解：（1）证明：设AC∩BD=H，连接EH，在△ADC中，

因为AD=CD，且DB平分∠ADC，

所以H为AC的中点，又有题设，

E为PC的中点，故EH∥PA，

又HE?平面BDE，PA?平面BDE，所以PA∥平面BDE

（2）证明：因为PD⊥平面ABCD，

AC?平面ABCD，所以PD⊥AC

由（1）知，BD⊥AC，PD∩BD=D，

故AC⊥平面PBD

（3）由AC⊥平面PBD可知，

BH为BC在平面PBD内的射影，

所以∠CBH为直线与平面PBD所成的角．

由AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2
，可得DH=CH=

在Rt△BHC中，tan∠CBH=
，

所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为
．

点评：本小题主要考查直线与平面平行．直线和平面垂直．直线和平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理能力．

18.考点： 复合三角函数的单调性．

专题： 三角函数的图像与性质．

分析： （1）令sinθ=t∈[0，1]，问题等价于求f（t）=2at2﹣2bt﹣a+b在t∈[0，1]的最大值，由二次函数区间的最值可得；

（2）令sinθ=t∈[﹣1，1]，由恒成立和最大值可得可得二次函数的顶点坐标为（0，﹣1），进而可得ab的值，可得解析式．

解答： 解：（1）令sinθ=t∈[0，1]，问题等价于求f（t）=2at2﹣2bt﹣a+b在t∈[0，1]的最大值，

∵a＞0，抛物线开口向上，二次函数的对称轴
，

由二次函数区间的最值可得

（2）令sinθ=t∈[﹣1，1]，则|f（t）|≤1可推得|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（﹣1）|≤1，

∵a＞0，∴g（sinθ）max=g（1）=2，而g（1）=2a﹣2b=2

而f（0）=b﹣a=﹣1而t∈[﹣1，1]时，|f（t）|≤1，即﹣1≤f（t）≤1，

结合f（0）=﹣1可知二次函数的顶点坐标为（0，﹣1）

∴b=0，a=1，∴f（x）=2x2﹣1．

点评： 本题考查二次函数的性质，涉及三角换元和等价转化，属中档题．

19.考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： （Ⅰ）由抛物线的焦点坐标求得c=1，结合隐含条件得到a2=b2+1，再由点到直线的距离公式得到关于a，b的另一关系式，联立方程组求得a，b的值，则椭圆方程可求；

（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，消去y得到（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由判别式等于0整理得到4k2﹣m2+3=0，代入（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0求得P的坐标，然后写出直线F1Q方程为
，联立方程组
，求得x=4，即说明点Q在定直线x=4上．

解答： （Ⅰ）解：由抛物线的焦点坐标为（1，0），得c=1，

因此a2=b2+1 ①，

直线AB：
，即bx﹣ay﹣ab=0．

∴原点O到直线AB的距离为
②，

联立①②，解得：a2=4，b2=3，

∴椭圆C的方程为
；

（Ⅱ）由
，得方程（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，（*）

由直线与椭圆相切，得m≠0且△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，

整理得：4k2﹣m2+3=0，

将4k2+3=m2，即m2﹣3=4k2代入（*）式，得m2x2+8kmx+16k2=0，

即（mx+4k）2=0，解得
，

∴
，

又F1（1，0），∴
，则
，

∴直线F1Q方程为
，

联立方程组
，得x=4，

∴点Q在定直线x=4上．

点评： 本题考查了椭圆方程的求法，考查了点到直线距离公式的应用，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了两直线交点坐标的求法，是中档题．

20.考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

专题：导数的综合应用．

分析：（Ⅰ）a=1时，f（x）=x2﹣ex，f′（x）=2x﹣ex，f″（x）=2﹣ex，利用导数研究其单调性可得当x=ln2时，函数f′（x）取得最大值，f′（ln2）=2ln2﹣2＜0，即可得出．

（II）f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），可得f′（x）=2ax﹣ex=0有两个实根x1，x2（x1＜x2），由f″（x）=2a﹣ex=0，得x=ln2a．f′（ln2a）=2aln2a﹣2a＞0，得ln2a＞1，解得2a＞e．又f′（0）=﹣1＜0，f′（1）=2a﹣e＞0，可得0＜x1＜1＜ln2a，进而得出．

解答： （Ⅰ）解：a=1时，f（x）=x2﹣ex，

f′（x）=2x﹣ex，f″（x）=2﹣ex，

令f″（x）＞0，解得x＜ln2，此时函数f′（x）单调递增；令f″（x）＜0，解得x＞ln2，此时函数f′（x）单调递减．

∴当x=ln2时，函数f′（x）取得最大值，f′（ln2）=2ln2﹣2＜0，

∴函数f（x）在R上单调递减．

（Ⅱ）证明：f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），∴f′（x）=2ax﹣ex=0有两个实根x1，x2（x1＜x2），

由f″（x）=2a﹣ex=0，得x=ln2a．

f′（ln2a）=2aln2a﹣2a＞0，得ln2a＞1，解得2a＞e．

又f′（0）=﹣1＜0， f′（1）=2a﹣e＞0，

∴0＜x1＜1＜ln2a，

由f′（x1）=
=0，可得
，

f（x1）=
=
=
（0＜x1＜1）．

∴可知：x1是f（x）的极小值点，

∴f（x1）＜f（0）=﹣1．

点评：本题考查了利用导数（两次求导）研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

通达教学资源网 http://www.nyq.cn/