严州中学2016届高三3月阶段测试数学试卷(理科)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1．平行直线l1：3x+4y-12=0与l2：6x+8y-15=0之间的距离为( ▲ )

A． B． C． D．

2．命题 “
α∈[0, +∞），sinα>α”的否定形式是( ▲ )

A．
α∈[0, +∞），sinα≤α B．
α∈[0, +∞），sinα≤α

C．
α∈(-∞,0），sinα≤α D．
α∈(-∞,0），sinα>α

3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于( ▲ ) cm3

A．4+π B．4+π

C．6+π D．6+π

4．若直线l交抛物线C：y2=2px(p>0)于两不同点A，B ，且|AB|=3p，则线段AB中点M到y轴距离的最小值为( ▲ )

A． B． p

C． D．2p

5．已知φ是实数，f(x)=cosx﹒cos(x+)，则“φ=”是“函数f(x)向左平移φ个单位后关于y轴对称”的( ▲ )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．如图，将四边形ABCD中△ADC沿着AC翻折到AD1C，则翻折过程中线段DB中点M的轨迹是( ▲ )

A．椭圆的一段 B．抛物线的一段

C．一段圆弧 D．双曲线的一段

7．已知双曲线C:
=1(a, b>0)虚轴上的端点B(0, b)，右焦点F，

若以B为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点P，且
，

则该双曲线的离心率为( ▲ )

A． B．2 C． D．

8．已知非零正实数x1, x2, x3依次构成公差不为零的等差数列.设函数f(x)=xα，α∈{-1, , 2, 3}，并记M={-1, , 2, 3}.下列说法正确的是( ▲ )

A．存在α∈M，使得f(x1) , f(x2) , f(x3)依次成等差数列

B．存在α∈M，使得f(x1), f(x2), f(x3)依次成等比数列

C．当α=2时，存在正数λ，使得f(x1), f(x2), f(x3)- λ依次成等差数列

D．任意α∈M，都存在正数λ>1，使得λf(x1), f(x2), f(x3)依次成等比数列

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

9．设集合A={x∈N|∈N}，B={x|y=ln(x-1)}，则A= ▲ ，B= ▲ ，
= ▲ .

10．设函数f(x)=Asin(2x+φ)，其中角φ的终边经过点P(-1,1)，且0<φ<π，f()=-2.则φ= ▲ ，A= ▲ ，f(x)在[-, ]上的单调减区间为 ▲ ．

11．设a>0且a≠1，函数f(x)=为奇函数，则a= ▲ ，g(f(2))= ▲ ．

12．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=CC1=2，AC=2，M是AC的中点，则异面直线CB1与C1M所成角的余弦值为

▲ .

13．设实数x,y满足x+y-xy≥2，则|x-2y|的最小值为 ▲ .

14．已知非零平面向量a, b, c满足a·c= b·c=3，|a-b|=|c|=2，则向量a在向量c方向上的投影为 ▲ ，a·b的最小值为 ▲ .

15．设f(x)=4x+1+a·2x +b(a, b∈R)，若对于
x∈[0,1]，| f(x)|≤都成立，则
▲ .

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．(本小题15分)

在△ABC中，内角
所对的边分别为a, b, c，且2sin(A-B)=asinA-bsinB, a≠b．

(Ⅰ)求边c；

(Ⅱ)若△ABC的面积为1，且tanC=2，求a+b的值．

17．(本小题15分) 在几何体ABCDE中，矩形BCDE的边CD=2，BC=AB=1，∠ABC=90°，直线EB⊥平面ABC，P是线段AD上的点，且AP=2PD，M为线段AC的中点.

(Ⅰ)证明：BM//平面ECP；

(Ⅱ)求二面角A-EC-P的余弦值.

18．(本小题14分)设函数f(x)=ax2+b，其中a, b是实数.

(Ⅰ)若ab>0，且函数f[f(x)]的最小值为2，求b的取值范围；

(Ⅱ)求实数a, b满足的条件，使得对任意满足xy=1的实数x, y，都有f(x)+f(y)≥f(x)f(y)成立.

19．(本小题15分)已知椭圆L:+=1(a>b>0)离心率为，过点(1,)，与x轴不重合的直线l过定点T(m,0)(m为大于a的常数)，且与椭圆L交于两点A, B(可以重合)，点C为点A关于x轴的对称点.

(Ⅰ)求椭圆L的方程；

(Ⅱ)(ⅰ)求证：直线BC过定点M，并求出定点M的坐标；

(ⅱ)求△OBC面积的最大值.

20．(本小题15分)设数列{an}满足：a1=2，an+1=can+(c为正实数,n∈N*)，记数列{an}的前n项和为Sn.

(Ⅰ)证明：当c=2时，2n+1-2≤Sn≤3n-1(n∈N*)；

(Ⅱ)求实数c的取值范围，使得数列{an}是单调递减数列.

参考答案

一、选择题.每小题5分，共40分.

1

2

3

4

5

6

7

8



B

A

D

B

A

C

D

C



二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

9.
,
,
. 10.
,
,
.

11. 2,
. 12.
. 13. . 14. ，. 15.
.

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16. 解：(Ⅰ)∵
，

∴
，

由正弦定理有
， ……………………4分

由余弦定理有
，

即
，

∵ a≠b ∴
. ……………………7分

(Ⅱ)∵
，且
，

∴
，
. ……………………9分

∵
，∴
. ………………11分

由余弦定理有
，

∴
. ……………13分

∴
，

∴
. ……………15分

17. 解：(Ⅰ)证：连接BD、MD，
，
，连接FN.

矩形
，∴F为BD中点.


平面
，

∴ DC⊥平面
，如图，在直角△ACD中，取AP中点Q，连接QM，

∵ M是AC的中点，∴QM//CP 又由AP=2PD

∴ QP=PD ∴DN=MN ∴FN//BM.

又∵ FN
平面ECP，而BN
平面ECP，

∴ BM//平面ECP； ………………7分

(Ⅱ)如图，建立空间直角坐标系：以B点为原点，BA所在的直线为x轴，BC所在的直线为y轴，BE所在的直线为z轴，则B(0,0,0), A(1,0,0), C(0,1,0), E(0,0,2),

P(
,
,
).……………………9分

平面ACE上，
=(-1,1,0),

=(-1,0,2);平面PCE上，

=(
,
,
),

=(
,
,
).

设平面ACE的法向量为
=(
,
,
),

平面PCE法向量
=(
,
,
),

则有


，

即
=（2,2,1）； …………………………11分

,

即
=(-2,2 ,1). …………………………13分

∴ cos<
,
>=
=
.

∴二面角A-EC-P的余弦值为
. ……………………………15分

18.解：(Ⅰ)由题， f[f(x)]=a3x4+2a2bx2+ab2+b，记t=x2

当ab>0时，二次函数
的对称轴
<0, …3分

显然当
时，不符合题意，所以
，

所以当
时，f[f(x)]取到最小值，即有
……………5分

从而
，解得
； ……………7分

(Ⅱ)∵
，即
，且
，

∴
，

即
. ……………9分

令
，则
要恒成立， ……12分

需要
，此时
在
上是增函数，

所以
，

即
，

所以实数a,b满足的条件为
………………15分

19.解：(Ⅰ)由题，
，解得
，

∴ 椭圆L的方程为
； ……………………4分

(Ⅱ) (ⅰ)由对称性可知若直线BC过定点，则定点必在x轴上.

设直线l的方程为x=ty+m，A(x1,y1)，B(x2, y2)，C(x1,-y1)

代入
，

可得
……………①

则
…………………②…………7分

设直线BC的方程为
，令y=0，

则

所以直线BC过定点M（
,0）； ……………………11分

(ⅱ)记△OBC的面积为S，

则S=

由②可知，
(
), ……………………13分

(1)若
即
时，Smax=
；

(2)若
时，Smax=
. ……………………15分

20.解：(Ⅰ)易得an>0(n∈N*)，由an+1=can+得=2+>2，所以{an}是递增数列，

从而有an≥2，故≤2+<3, ………………………4分

由此可得

an+1<3an<32 an-1<………<3n a1=2﹒3n，

而a1=2，所以Sn≤2(1+3+32+…+3n-1)=3n-1， …………………………7分

又有 an+1>2an>22 an-1>………>2n a1=2n+1，

所以 Sn≥2+22+…+2n=2n+1-2.

所以，当c=2时，2n+1-2≤Sn≤3n-1(n∈N*)成立； ……………………8分

(Ⅱ)由a1=2可得a2=2c+<2，解得c<， ……………………………10分

若数列{an}是单调递减数列，则= c+<1，得an>，记t= ……①

又an+1-t=(an-t)( c- )，因为an-t(n∈N*)均为正数，所以c- >0,即an>…… ②

由(Ⅰ) an>0(n∈N*)及从c，t>0可知an+1-t

进而可得 an< cn-1(2-t)+t…………③

由②③两式可得 对任意的自然数n，< cn-1(2-t)+t恒成立.

因为0. ……………………12分

下面证明：当

由an+1=can+及an=c an-1+(n≥2)，两式相减得an+1-an= (an-an-1)( c- )

由an+1=can+有an≥2成立，则an-1an>4c>,即 c> 

又当c<时，a2-a1<0成立，所以对任意的自然数n ,an+1-an<0都成立. ……15分

综上所述，实数c的取值范围为

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