浙江省2016届高三预测金卷

数学理

本试卷分第I卷和第II卷两部分．第I卷1至3页，第II卷4至6页，满分150．

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的准考号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．

3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回 ．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知全集U=R，M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|x＜1}，那么M∪N=（　　）

A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|x＜﹣2} D．{x|x≤2}

2.若某个几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（　　）

　 A．
cm3 B．
cm3 C．
cm3 D．
cm3

3.设
，
，则“
”是“
”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4.若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（　　）

A．
B．
C．
D．

5.
的展开式的常数项是

（A）48 （B）﹣48 （C）112 （D）﹣112

6.对非零实数
，定义运算“
”满足：（1）
；（2）
．若
，则下列判断正确的是

A．
是增函数又是奇函数 B．
是减函数又是奇函数

C．
是增函数又是偶函数 D．
是减函数又是偶函数

7.若实数x，y满足的约束条件
，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a，b，则函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为（　　）

A．
B．
C．
D．

8.已知函数f（x）=
，x∈R，若对任意θ∈（0，
]，都有f（sinθ）+f（1﹣m）＞0成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．（0，1） B．（0，2） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1]

二．填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）

9.已知直线
,
,则
的值为 , 直线
间的距离为 .

10.钝角
的面积为
，
则角
,
.

11.设等差数列
的前
项和为
，若
，则数列
的公差
　 　；
　 　．

12.若实数
、
满足
且
的最小值为
，则实数
的值为　　　　。

13.已知函数
在
是单调函数，则实数
的取值范

围是　 　 .

14.等式组
所表示的平面区域为
，则区域
的面积为 ；若直线
与区域
有公共点， 则
的取值范围是 ．

15.下列命题为真命题的是___________．（用序号表示即可）

①cos1>cos2>cos3；

②若
=
且
=n+3（n=1、2、3），则
；

③若
、
、
分别为双曲线
=1、
=1、
=1的离心率，则
>
>
；

④若
,则

三，解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（
sinB﹣cosB）（
sinC﹣cosC）=4cosBcosC．

（Ⅰ） 求角A的大小；

（Ⅱ） 若sinB=psinC，且△ABC是锐角三角形，求实数p的取值范围．

17.如图，在三棱锥D-ABC中，DA=DB=DC, D在底面ABC上的射影为E，AB⊥BC，DF⊥AB于F．

（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；

（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=60°，求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值.

18.函数f（x）=2ax2﹣2bx﹣a+b（a，b∈R，a＞0），g（x）=2ax﹣2b

（1）若
时，求f（sinθ）的最大值；

（2）设a＞0时，若对任意θ∈R，都有|f（sinθ）|≤1恒成立，且g（sinθ）的最大值为2，求f（x）的表达式．

19.已知椭圆C：
，右顶点为（2，0），离心率为
，直线l1：y=kx+m（k≠0，m≠0）与椭圆C相交于不同的两点A，B，过AB的中点M作垂直于l1的直线l2，设l2与椭圆C相交于不同的两点C，D，且CD的中点为N．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设原点O到直线l1的距离为d，求
的取值范围．

20.设函数
，
．

（I）判断函数
在
内的单调性，并说明理由；

（II）求最大的整数
，使得
对所有的
及
都成立．

（注：
.）

答案

1.D

【考点】并集及其运算．

【专题】计算题．

【分析】由M与N求出两集合的并集即可．

【解答】解：∵M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|x＜1}，

∴M∪N={x|x≤2}．

故选D

【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．

2.B

【考点】： 由三视图求面积、体积．

【专题】： 计算题；空间位置关系与距离．

【分析】： 由三视图可得该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，根据标识的各棱长及高，代入棱锥体积公式可得答案．

解：由题意，该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，

所以V=
=
cm3，

故选：B．

【点评】： 本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知分析出几何体的形状及各棱长的值是解答的关键．

3.A

4.C

考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

专题： 三角函数的求值．

分析： 利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值．

解答： 解：函数f（x）=sin2x+cos2x=
sin（2x+
）的图象向右平移φ的单位，

所得图象是函数y=
sin（2x+
﹣2φ），

图象关于y轴对称，可得
﹣2φ=kπ+
，

即φ=﹣
，

当k=﹣1时，φ的最小正值是
．

故选：C．

点评： 本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．

5.B

6.A

在（2）
中，令
，得
，再由（1）
，得
；在（2）
中，令
，得
，从而
，所以
．所以

，故
既是增函数又是奇函数，选A．

7.D

考点： 几何概型；简单线性规划．

专题： 应用题；概率与统计．

分析： 利用古典概型概率计算公式，先计算总的基本事件数N，再计算事件函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值时包含的基本事件数n，最后即可求出事件发生的概率．

解答： 解：画出不等式组
表示的平面区域，

∵函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值，

∴直线z=2ax+by的斜率k=﹣
≤﹣1，即2a≥b．

∵一颗骰子投掷两次分别得到点数为（a，b），则这样的有序整数对共有6×6=36个

其中2a≥b的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共30个

则函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为
=
．

故选：D．

点评： 本题考查了古典概型概率的计算方法，乘法计数原理，分类计数原理，属于基础题

8.D

【考点】奇偶性与单调性的综合．

【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．

【分析】求函数f（x）定义域，及f（﹣x）便得到f（x）为奇函数，并能够通过求f′（x）判断f（x）在R上单调递增，从而得到sinθ＞m﹣1，也就是对任意的
都有sinθ＞m﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m的取值范围．

【解答】解：f（x）的定义域为R，f（﹣x）=﹣f（x）；

f′（x）=ex+e﹣x＞0；

∴f（x）在R上单调递增；

由f（sinθ）+f（1﹣m）＞0得，f（sinθ）＞f（m﹣1）；

∴sinθ＞m﹣1；

即对任意θ∈
都有m﹣1＜sinθ成立；

∵0＜sinθ≤1；

∴m﹣1≤0；

∴实数m的取值范围是（﹣∞，1]．

故选D．

【点评】考查奇函数的定义，根据函数导数判断函数单调性的方法，复合函数的求导公式，以及函数单调性定义的运用，正弦函数的值域．

9.
；

10.
;

11.

【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2

由
，
=12，得d=
，
=
，则
20.

【思路点拨】根据等差数列的通项公式和性质求出公差和
。

12.【知识点】线性规划 E5

由题得：b＞0，
对应的可行域如图：

，
由图得，当目标函数过B时，z=2x+y有最小值，所以
，解得
故答案为
.

【思路点拨】画出满足条件的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数
的方程组，消参后即可得到
的取值．

13.【知识点】函数的单调性 B3

若函数在
是单调减函数，则需满足：
，若函数在
是单调增函数则需满足：
故答案为
.

【思路点拨】分段函数在整个定义域内单调需满足每段上单调，且根据函数图象的特征知，从左向右看图象应一直上升或下降，从而函数在端点处的函数值有一定大小关系.

14.

15.①③

16.【考点】： 三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．

【专题】： 三角函数的求值；解三角形．

【分析】： （Ⅰ） 由已知及三角函数中的恒等变换应用得
，从而可求tan（B+C）=﹣
，即可解得A的值．

（Ⅱ） 由已知得
，由△ABC为锐角三角形，且
，可求tanC的范围，即可解得实数p的取值范围．

解：（Ⅰ） 由题意得

…（4分）

∴
…（7分）

（Ⅱ）
…（10分）

∵△ABC为锐角三角形，且

∴
…（14分）

∴
．…（15分）

【点评】： 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦定理的应用，属于基本知识的考查．

17.

（Ⅰ）如图，由题意知
平面

所以
，又

所以
平面
，………………3分

又
平面
所以平面
平面

…………………6分

（Ⅱ）解法一：

由
知

所以
是
的外心

又
所以
为
的中点 …………………………………9分

过
作
于
，则由（Ⅰ）知
平面

所以
即为
与平面
所成的角…………………………………12分

由
，
得
，

所以
，

所以
…………………………………15分

解法二：

如图建系，则
，
，

所以
，
……………………………………9分

设平面
的法向量为

由
得
，取
………………12分

设
与
的夹角为

所以

所以
与平面
所成的角的正弦值为
………………………………15分

18.考点： 复合三角函数的单调性．

专题： 三角函数的图像与性质．

分析： （1）令sinθ=t∈[0，1]，问题等价于求f（t）=2at2﹣2bt﹣a+b在t∈[0，1]的最大值，由二次函数区间的最值可得；

（2）令sinθ=t∈[﹣1，1]，由恒成立和最大值可得可得二次函数的顶点坐标为（0，﹣1），进而可得ab的值，可得解析式．

解答： 解：（1）令sinθ=t∈[0，1]，问题等价于求f（t）=2at2﹣2bt﹣a+b在t∈[0，1]的最大值，

∵a＞0，抛物线开口向上，二次函数的对称轴
，

由二次函数区间的最值可得

（2）令sinθ=t∈[﹣1，1]，则|f（t）|≤1可推得|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（﹣1）|≤1，

∵a＞0，∴g（sinθ）max=g（1）=2，而g（1）=2a﹣2b=2

而f（0）=b﹣a=﹣1而t∈[﹣1，1]时，|f（t）|≤1，即﹣1≤f（t）≤1，

结合f（0）=﹣1可知二次函数的顶点坐标为（0，﹣1）

∴b=0，a=1，∴f（x）=2x2﹣1．

点评： 本题考查二次函数的性质，涉及三角换元和等价转化，属中档题．

19.考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：（Ⅰ）运用离心率公式和a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；

（Ⅱ）设出AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点的坐标，再设直线CD的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式和点到直线的距离公式，再由二次函数的最值，即可得到范围．

解答： 解：（Ⅰ）由
得a=2，c=
，

b=
=1，

则椭圆方程为
；

（Ⅱ）由
得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则
，

故
，

l2：
，即
，

由
，得
，

设C（x3，y3），D（x4，y4），

则
，

故
，

故
=
，

又
，

所以
=
．

令t=k2+1（t＞1），

则
=

．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线的位置关系，考查运算能力，属于中档题．

20.（I）函数
的导数
……………2分

， ………………4分

故在
内，当
为奇数时，
，则函数
在
内单调递增；当
为偶数时，
，则函数
在
内单调递减. ………6分

（II）注意到对任意
，
， ………………7分

由（I），对任意
，

当
为奇数时，
；当
为偶数时，
. ………………8分

故当
为奇数时，
为偶数，
，即
，

而
，故
； ………………10分

同理，当
为偶数时，仍有
.

所以对任意
及
，都有
. ………………12分

又
，故
，即
.

因此