2016年高三教学测试（二）

文科数学 试题卷

注意事项：

1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;

2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．

参考公式：

棱柱的体积公式

，

其中
表示棱柱的底面积，
表示棱柱的高．

棱锥的体积公式

，

其中
表示棱锥的底面积，
表示棱锥的高．

棱台的体积公式

，

其中
分别表示棱台的上、下底面积，
表示棱台的高．

球的表面积公式

，

其中R表示球的半径．

球的体积公式

，

其中R表示球的半径．

第I卷（共40分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．设集合U={1,2,3,4,5}，A={1,2,3}，B= {2,5}，则A
((UB) =

A．{2} B．{2，3} C．{3} D．{1，3}

2．设l、m是两条不同的直线，
是一个平面，则下列命题正确的是

A．若l⊥m，
，则l⊥
B．若l⊥
，l∥m，则m⊥

C．若l∥
，
，则l∥m D．若l∥
，m∥
，则l∥m

3．“
”是“
”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），

则该几何体的体积是

A．4 cm3

B．8 cm3

C．12 cm3

D．24 cm3

5．函数
（其中
）的图象不可能是

A B C D

6．已知数列
、
满足
，
，设数列
前n项和为
，则
的值为

A．
B．

C．
D．

7．如图，已知椭圆方程为
，F是其左焦点，A、B在椭圆上，满足
且
，则点A的横坐标为

A．1 B．

C．
D．

8．设平面向量
、
满足|
|=2、|
|=1，
，点P满足
，则点P所表示的轨迹长度为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）

9．计算：
= ▲ ；
= ▲ ．

10．设函数
，则
= ▲ ，方程
的解为 ▲ ．

11．已知△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若
，
，
，则b= ▲ ，△ABC的面积S= ▲ ．

12．若
且满足不等式组
，不等式组所表示的平面区域的面积为 ▲ ，目标函数
的最大值为 ▲ ．

13．若点A、B为圆
上的两点，点
为弦AB的中点，则弦AB所在的直线方程为 ▲ ．

14．设
，则函数
所有的零点之和为 ▲ ．

15．如图，点F1、F2为双曲线
（
）的左右焦点，点A、B、C分别为双曲线上三个不同的点，且
经过坐标原点
，并满足
，
，则双曲线的离心率为 ▲ ．

三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16．（本题满分14分）

设函数
，

（Ⅰ）若
，求实数m的值；

（Ⅱ）求函数
的最小正周期和单调递增区间．

17．（本题满分15分）

已知数列
为正项数列，其前n项和为
，且
满足
，

（Ⅰ）求证：数列
为等差数列；

（Ⅱ）设
，求数列
的前n项和为
．

18．（本题满分15分）

如图，长方体
中，
，
，点
是棱
上的一点，
．

（Ⅰ）当
时，求证：
平面
；

（Ⅱ）当直线
与平面
所成角的正切值为
时，求
的值．

19．（本题满分15分）

已知抛物线C：
，过点P（t, 0）（其中
）作互相垂直的两直线l1，l2，直线l1与抛物线C相切于点Q（Q在第一象限内），直线l2与抛物线C相交于A、B两点．

（Ⅰ）求证：直线l2恒过定点；

（Ⅱ）记直线AQ、BQ的斜率分别为k1，k2，当
取得最小值时，求点P的坐标．

20．（本题满分15分）

已知函数
，
，

（Ⅰ）当a=6时，求函数
的值域；

（Ⅱ）设
，求函数
最小值
．

2016年高三教学测试（二）

文科数学 参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）

1．D； 2．B； 3．A； 4．A； 5．C； 6．C； 7．B； 8．D；

第8题提示：

|
|=2，|
|=1，
，所以在坐标系下，设
，

又因为
，
（其中
）

而
，（其中
），则点P所表示的轨迹长度为
．

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）

9.
，
； 10. 0，
或4； 11. 1；
； 12. 4；10；

13.
； 14.
； 15.
．

第15题提示：

解析：令
，则
，
，由
及
可得，四边形AF1CF2为矩形，所以有

而在Rt△A F1B中,

，化简可得：

故有
，
，即
，化简可得：
，即
．

三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16．（本题满分14分）

设函数
，

（Ⅰ）若
，求实数m的值；

（Ⅱ）求函数
的最小正周期和单调递增区间；

解：（Ⅰ）
，解得
．

（Ⅱ）

，故
，

令
，其中
，解得：
，

因此函数
的单调增区间为

．

17．（本题满分15分）

已知数列
为正项数列，其前n项和为
，且
满足
，

（Ⅰ）求证：数列
为等差数列；

（Ⅱ）设
，求数列
的前n项和为
．

解：（Ⅰ）由于
，

（1）当
时，有
，解得：
，

（2）当
时，有
，

作差可得：
，

可得：
，即
是首项为1，公差为2的等差数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
，
，所以
,

由题意可知：
,

故

．

18．（本题满分15分）

如图，长方体
中，
，
，点
是棱
上的一点，
．

（Ⅰ）当
时，证明：
平面
；

（Ⅱ）当直线
与平面
所成角的正切值为
时，求
的值．

（Ⅰ）连接
,易得
平面
，

所以
，①

当
时，
，

，所以
，

因此：
，而
平面
，故

所以
平面
，所以，
，②

由①②可得：
平面
．

（Ⅱ）连接
，
，设
，连接PM，

由于
平面
，所以平面
平面
，

所以
在平面
内的射影为
，

故直线
与平面
所成角即
与
所成的角，记为
，

在平面
中，令
，则
，

再令
，
，

则由题意得：
，
，

，

而
，解得：
．

19．（本题满分15分）

已知抛物线C：
，过点P（t, 0）（其中
）作互相垂直的两直线l1，l2，直线l1与抛物线C相切于点Q（Q在第一象限内），直线l2与抛物线C相交于A、B两点．

（Ⅰ）求证：直线l2恒过定点；

（Ⅱ）记直线AQ、BQ的斜率分别为k1，k2，当
取得最小值时，求点P的坐标．

解：（Ⅰ）设直线l1的斜率为k，则l1直线的方程为
,

与抛物线方程联立
可得：

，由于直线l1与抛物线C相切，

所以
，求得：
，故Q点坐标为Q
，

由于l1⊥l2，故设l2的方程为：
，即
，

所以直线l2恒过定点(0，1)；

（Ⅱ）设
，
，联立直线l2方程与抛物线方程

可得：
，则
，
，

则题意可知：
，同理：
，

所以：

故当
时，
有最小值为
，此时P的坐标为
．

20．（本题满分15分）

已知函数
，
，

（Ⅰ）当a=6时，求函数
的值域；

（Ⅱ）设
，求函数
的最小值
．

解：（Ⅰ）当a=6时，

当
时，
；

当
时，
，

函数
的值域为
．

（Ⅱ）

（1）当
时，
，
，

此时当
时，

在
上单调递减，在
上单调递增，

所以
；

（2）当
时，
，

在
上单调递减，在
上单调递增，

所以
；

（3）当
时，
，

在
上单调递增，在
上单调递减，

在
上单调递增，所以
，

，

所以
，故
；

综上所述：