广东仲元中学2017届高三9月月考数学（文科）试题

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项，有且只有一项是符合题目要求的.

1．若集合
，
，则
（　　）

A．
B．
C．
D．

2. 若
（
是虚数单位），则

Ａ．
　Ｂ．
　　Ｃ．
　　Ｄ．

3. 若
，则
( )

A.
B.
C.
D.

4．执行如下图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是

A．
B．
C．
D．

5. 如图，在边长为
的正方形内有不规则图形
. 向正方形内随机撒豆子，若撒在图形
内和正方形内的豆子数分别为
，则图形
面积的估计值为( )A．
B．
C．
D．

6. “
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要

7．设变量
、
满足：
，则
的最大值为（　　）

A．
B．
C．
D．

8. 已知三点
,则△
外接圆的圆心到原点的距离为（ ）

9．三棱锥
及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱
的长为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 已知向量
，
且
∥
，若
均为正数，则
的最小值是（　　）

　 A．
B．
C．

D．

11．已知
为坐标原点，
是椭圆


的左焦点，
、
分别为
的左、右顶点.
为
上一点，且
⊥
轴.过点
的直线
与线段
交于点
，与
轴交于点
.若直线
经过
的中点，则
的离心率为 （ ）

A.
B.
C.
D.

12．已知函数
，若存在实数
，
，
，
，满足
，且
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知在
中,角
所对的边分别为
.若
,
,则
.

14.已知等差数列
的公差为2，若
成等比数列，则
=____

15.已知函数
，求曲线
在点
处的切线方程__________________

16.在正三棱锥
中，
是
的中点，且
，底面边长
，则正三棱锥
的体积为 ，其外接球的表面积为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）已知数列
是等比数列，
，
是
和
的等差中项.

（１）求数列
的通项公式；

（２）设
，求数列
的前
项和
．

18. （本小题满分12分）为了美化城市环境，某市针对市民乱扔垃圾现象进行罚款处理。为了更好的了解市民的态度，随机抽取了200人进行了调查，得到如下数据：

罚款金额
（单位：元）

0

5

10

15

20



会继续乱扔垃圾的人数

80

50

40

20

10



（１）若乱扔垃圾的人数
与罚款金额
满足线性回归方程，求回归方程
，其中
，并据此分析，要使乱扔垃圾者不超过
，罚款金额至少是多少元？

（２）若以调查数据为基础，从5种罚款金额中随机抽取2种不同的数额，求这两种金额之和不低于25元的概率.

19.（12分）如图，直三棱柱
的底面是边长为2的正三角形，
分别是
的中点。

（１）证明：平面
平面
；

（２）若直线
与平面
所成的角为
，求三棱锥
的体积．

20．（本小题满分12分）已知椭圆

的离心率
，过点
和
的直线与原点的距离为
．

(1)求椭圆的方程；

(2)设
为椭圆的左、右焦点，过
作直线交椭圆于
两点，求△
的内切圆半径
的最大值．

21．（本小题满分12分）

设函数
，
.

（1）求函数
的单调区间；

（2）当
时，讨论函数
与
图象的交点个数.[]

请考生从第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点 E，AD交BC于点F．

（１）求证：BC∥DE；

（２）若D、E、C、F四点共圆，且
，求∠BAC．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，已知直线
过点
，倾斜角
，再以原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．

（１）写出直线
的参数方程和曲线
的直角坐标方程；

（２）若直线
与曲线
分别交于
、
两点，求
的值．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数
．

（1）当
时，解不等式
；

（2）若存在实数
，使得不等式
成立，求实
的取值范围．

广东仲元中学２０１７届高三9月月考数学（文科）参考解答

　ＣＤＤB　　CＢＤＢ　　ＣＢＡＢ

12．B试题分析:在平面直角坐标系
中，作出函数
的图象如图所示：

法一、因为存在实数
，
，
，
，满足
，且
，所以由图象知：
，
，
，
，当
时，直线
与函数
的图象有
个交点，直线
越往上平移，
的值越小，直线直线
越往下平移，
的值越大，因为当
时，
，当
时，

，所以
的取值范围是
，故选B．

法二、

13．3　　　14．
　　　15．
　　16.
，

17.解：（１）设数列
的公比为
，

因为
，所以
，
．…………………………………………1分

因为
是
和
的等差中项，所以
．……………………2分

即
，化简得
．

因为公比
，所以
．………………………………………………………4分

所以
（
）．…………………………………………5分

（２）因为
，所以
．

所以
．……………………………………………………………7分

则
， ①

. ②………9分

①－②得，

…………………………10分

，

所以
．……………………………………………………………12分

18解：（１）由条件可得
,则
, ………3分

故回归直线方程为
,………5分

由
可得
,所以,要使乱扔垃圾者不超过20%,处罚金额至少是10元. …7分

（２）设“两种金额之和不低于20元”的事件为A,从5中数额中随机抽取2种,总的抽选方法有(0,5),(0,10),(0,15),(0,20),(5,10),(5,15),(5,20),(10,15),(10,20),(15,20)共10种情况,满足金额之和不低于25元的有4种,故所求概率为:
…12分

19（１）首先证明
，
，得到
平面
，利用面面垂直的判定与性质定理可得平面
平面
； (II)设AB的中点为D,证明直线
直线
与平面
所成的角，由题设知
，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积.

试题解析：（I）如图，因为三棱柱
是直三棱柱，

所以
，又
是正三角形
的边
的中点，

所以
，因此
平面
，而
平面
，

所以平面
平面
。

（２）设
的中点为
，连接
，因为
是正三角形，所以
，又三棱柱
是直三棱柱，所以
，因此
平面
，于是
直线
与平面
所成的角，由题设知
，

所以

在
中，
，所以

故三棱锥
的体积
．

20解： (1)直线AB的方程为＋＝1，即bx－ay－ab＝0.

原点到直线AB的距离为＝，即3a2＋3b2＝4a2b2.①

e＝＝?c2＝a2.②

又a2＝b2＋c2，③

由①②③可得a2＝3，b2＝1，c2＝2. 故椭圆的方程为＋y2＝1.

(2)F1(－，0)，F2(，0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

由于直线PQ的斜率不为0，故设其方程为x＝ky＋，

联立直线与椭圆的方程，得?(k2＋3)y2＋2ky－1＝0.

故④

而S△F1PQ＝S△F1F2P＋S△F1F2Q＝|F1F2||y1－y2|＝，⑤

将④代入⑤，得S△F1PQ＝＝.

又S△F1PQ＝(|PF1|＋|F1Q|＋|PQ|)·r＝2a·r＝2r，

所以＝2r，故r＝＝≤，

当且仅当＝，即k＝±1时，取得“＝”．

故△PQF1的内切圆半径r的最大值为.

21解：⑴解：函数
的定义域为
，
，

当
时，
，所以函数
的单调增区间是
，无减区间；--2分当
时，
；当
时，
，函数
的单调递减；当
时，