广东仲元中学2017届高三理科数学九月测试题

一. 选择题： 本大题共12小题，每小题5分，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合
，
，则
= （ ）

A.
B.
C.
D.

2．在复平面内，复数
（是虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）

A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D.第一象限

3. 设
，则“
”是“直线
与直线
平行”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4. 已知数列
满足
，若
是递减数列，则实数
的取值范围是(　　)

A. B. C.  D. 

5. 将函数
的图象向左平移
个单位，

所得的函数关于
轴对称，则
的一个可能取值为（ ）

A.
B.
C .0 D.

6. 若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的

体积等于（ ）

A．
cm3 B．
cm3 C．
cm3 D．
cm3

7. 已知是
方程

的根，

是方程
的根，则
的值为（ ）

A. 2016 B. 2017 C. 1008 D. 1007

8．如图，周长为
的圆的圆心
在
轴上，顶点
，一动点
从
开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长
，直线
与
轴交于点
，则函数
的图像大致为（ )

9．在平面直角坐标系中，点
和点
到直线
的距离都是
，则符合条件的直线
共有（ ）条

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

10. 若从区间
内随机取两个数，则这两个数之积不小于
的概率为（　　）

A．
B．
C．
D．

11. 已知点
是抛物线
的对称轴与准线的交点，点
为抛物线的焦点，
在抛物线上且满足
，当
取最大值时，点
恰好在以
为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数

称为狄利克雷函数，则关于函数
有以下四个命题：

①
； ②函数
是偶函数；

③任意一个非零有理数
，
对任意
恒成立；

④存在三个点
，使得
为等边三角形.

其中真命题的个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

二. 填空题： 本大题共4小题，每小题5分．

13．已知等比数列
的第
项是二项式
展开式中的常数项，则
的值 .

14. 冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道， 每名水暖工只去一个小区， 且每个小区都要有人去检查， 那么分配的方案共有 种.

15. 若不等式组
所表示的平面区域存在点
，使
成立，则实数
的取值范围是 .

16．定义函数
，若存在常数
，对于任意
，存在唯一的
，使得
，则称函数
在
上的“均值”为
，已知
，则函数
在
上的“均值”为　　 　．

三. 解答题：本大题共6小题. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在
中，内角
对应的三边长分别为
，且满足

.

（Ⅰ）求角
； （Ⅱ）若
，求
的取值范围.

18. （本小题满分12分） 为增强市民的节能环保意识，郑州市面向全市征召义务宣传志愿者. 从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区是:
.

（Ⅰ）求图中
的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在
岁的人数；

（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人. 记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为
，求
的分布列及数学期望.

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，

平面
，
为直角，
，
，
分别为
的中点．

（Ⅰ）证明：

平面
；

（Ⅱ）若
，求二面角
.

20.（本小题满分12分）

椭圆
，原点
到直线
的距离为
，其中：点
， 点
.（Ⅰ）求该椭圆
的离心率
；

（Ⅱ）经过椭圆右焦点
的直线和该椭圆交于
两点，点
在椭圆上，
为原点，

若
，求直线的方程．

21.（本小题满分12分）

已知函数
，函数
在
处的切线与直线
垂直.

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）若函数
存在单调递减区间，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）设
是函数
的两个极值点，若
，求
的最小值.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

已知

外接圆劣弧
上的点（不与点
、
重合），延长
至
, 延长
交
的延长线于
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
．

23.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程

已知曲线
的参数方程为
(
为参数)，以直角坐标系原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（Ⅰ）求曲线
的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线的极坐标方程为
，求直线被曲线
截得的弦长.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
，不等式
的解集为
.

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）若
对一切实数
恒成立，求实数
的取值范围.

广东仲元中学2017届高三理科数学九月测试题参考答案

第Ⅰ卷 （选择题，共60分）

一．选择题： 本大题共12小题，每小题5分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

D

A

D

B

 B

A

D

B

C

C

A



第Ⅱ卷 （ 非选择题，共90分）

二．填空题： 本大题共4小题，每小题5分．

13． 36 14．150 15．
16. 1008 .5

注：第7题改编自学海导航的第23页例3； 第9题改编自七校联考的第10题；

第11题来自选修2-1第81页第3题（原题）；

三．解答题： 本大题共6小题. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.解析：（Ⅰ）

............2分

............4分

...........6分

（Ⅱ）解法1：

由正弦定理得
，

∴ b=2sinB，c=2sinC. ...........8分

∴ b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin(A+B)

=2sinB+2sinAcosB+2cosAsinB=3sinB+
cosB=
...........10分

∵ B∈(0,
)，∴
，
，

所以b+c
............12分

解法2：

...........8分

，...........10分

，即


b+c
.............12分

18. 解: （Ⅰ）∵小矩形的面积等于频率,∴除
外的频率和为0.70,

............2分

500名志愿者中,年龄在
岁的人数为
(人). ............4分

（Ⅱ）用分层抽样的方法,从中选取10名,则其中年龄“低于35岁”的人有6名,

“年龄不低于35岁”的人有4名. 故
的可能取值为0,1,2,3, ............5分

,
,

,
, ............9分

故
的分布列为

0

1

2

3















............10分

所以
............12分

19 .解：（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且
DAB为直角，故ABFD是矩形，

从而AB
BF．　　　　

又PA
底面ABCD, ∴平面PAD
平面ABCD，　　　

∵AB
AD，故AB
平面PAD,∴AB
PD，　　　　

在ΔPCD内，E、F分别是PC、CD的中点，EF//PD， ∴　AB
EF．　

由此得
平面
．............6分

（Ⅱ）以A为原点，以AB，AD，AP为x轴,y轴,z轴正向建立空间直角坐标系，

则

设平面
的法向量为
，平面
的法向量为
，

则

可取

设二面角E?BD?C的大小为
，则

=
，

所以，
............12分

20.解：（Ⅰ）设直线
：
且

所以离心率
. ............3分

（Ⅱ）椭圆
方程为
，设

①当直线斜率为0时，其方程为
，

此时
，
，不满足
，不符合题意，舍去............4分

②当直线斜率不为0时设直线方程为
，

由题：
消
得
，............5分

所以
............7分

因为
，所以
，

因为点
在椭圆上，

所以

所以
............9分

化简得
，得
直线为
............11分

综上，直线为
............12分

21.