淮海中学2017届高三第一次阶段性考试

数学试题（理科）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填写在答题卡相应位置上．

1．设集合
，
，则
▲ ．

2．命题“
，使得
”的否定是： ▲ ．

3.
▲ ．

4．“
”是“
”成立的 ▲ 条件．

(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)

5．幂函数
过点
，则
▲ ．

6．若函数
的图像过点（2，2），则函数
的值域为 ▲ ．

7．若函数
在区间(
)上为单调递增函数，则实数
的取值范围是 ▲ ．

8．已知
在R上是偶函数，且满足
，若
时，
，则
▲ ．

9．设f(x)＝x2－2x＋a．若函数f(x)在区间
内有零点，则实数a的取值范围为 ▲ ．

10．已知
且
，则实数
的取值范围是 ▲ ．

11．已知曲线
及点
，则过点
的曲线
的切线方程为 ▲ ．

12．已知函数f(x)＝当x∈(－∞，m] 时，f(x)的取值范围为 [－16，＋∞)，则实数m的取值范围是 ▲ ．

13. 已知函数
是定义在
上的奇函数，且当
时，
（
）．若
，则实数
的取值范围是 ▲ ．

14.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝()x．若存在

x0∈[，1]，使得等式af(x0)＋g(2x0)＝0成立，则实数a的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15、(本小题满分14分)

已知命题
：函数
在区间
上是单调增函数；命题
：函数
的定义域为R，如果命题“
或
”为真， “
且
”为假，求实数a的取值范围．

16、(本小题满分14分)

已知函数
满足

(1)求函数
的解析式及定义域；

(2)解不等式
＜1.

17、（本小题满分14分）

已知：已知函数
，

（1）若
，求
的极值；

（2）当
时，
在
上的最小值为
，求
在该区间上的最大值．

18、（本小题满分14分）

如图, 有一块半径为R的半圆形空地,开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD和其附属设施,附属设施占地形状是等腰△CDE,其中O为圆心, A, B在圆的直径上，C,D, E在圆周上.

（1）设
,征地面积记为
,求
的表达式;

（2）当
为何值时,征地面积最大?

19、（本小题满分16分）

已知函数
，
，其中
．

（1）当
时，求函数
的值域；

（2）若对任意
，均有
，求
的取值范围；

（3）当
时，设
，若
的最小值为
，求实数
的值．

20．（本小题满分16分）

已知函数f(x)＝ax2－bx＋lnx，a，b∈R．

（1）当a＝b＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；

（2）当b＝2a＋1时，讨论函数f(x)的单调性；

（3）当a＝1，b＞3时，记函数f(x)的导函数f ′(x)的两个零点是x1和x2 (x1＜x2)．

求证：f(x1)－f(x2)＞－ln2．

淮海中学2017届高三第一次阶段性考试

数学试题（理科）参考答案2016.10.6

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填写在答题纸相应位置上．

1．
2．
，使得
3．12 4．充分不必要 5．4 6．
7．

8．
9、
10．
11.
12．[－2，8] 13．
14．[2，]

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．

15.(本小题满分14分)

因为函数
在区间
上是单调增函数,

所以对称轴方程
，所以
， ………………………3分

又因为函数
的定义域为
，

所以
，解得
， ……………………………6分

又因为“
或
”为真，“
且
”为假，所以命题
一真一假， ……………8分

所以
或
， ……………12分

所以
或
，

所以实数a的取值范围是
． ……………14分

16.(本小题满分14分)

16．（1）因为
，

令
，则
， 所以，
，

即
，…………………………………………………………5分

由
，得﹣1

所以函数f(x)的定义域是
．…………………………………………………………7分

（2）
，……………………………………… 10分

即
　……………………………………………………………………………12分

解得
．　　……………………………………………………………………14分

17．（本小题满分14分）

解：（1）当
时，
，

----2分















-



+



-





单调减



单调增



单调减



所以，
的极大值为
，
的极小值为
. --------------------------7分

（2）令
，得
，

在
上单调递减，在
上单调递增，-------------10分

当
时，有
，所以
在
上的最大值为
，
，

所以
在
上的最小值为
，解得：
.

故
在
上的最大值为
. -------------------14分

18．（本小题满分16分）

解：（1）连接
,可得

；
.……4分

∴

.……8分

（2）
.……10分

令
∴
（舍）或者
∵
,……12分

,
,
,
,……14分

∴当
时,
取得最大. ……15分 答:
时,征地面积最大. ……16分

19．（本小题满分16分）

（1）当
时，
，……………………………………………2分

因为
，

所以
，
的值域为
…………………………4分

（2）若
，

若
时，
可化为
…………………………6分

即
，所以
…………7分

因为
在
为递增函数，所以函数
的最大值为
，…………8分

因为
（当且仅当
，即
取“=”） …………9分

所以
的取值范围是
． …………………………10分

（3）因为

当
时，
， …………11分

令
，
，则
，

当
时，即
，
； …………12分

当
时，
，即
，

因为
，所以
，
． …………14分

若
，
，此时
，

若
，即
，此时
，

所以实数
． …………16分

20．（本小题满分16分）

解：（1）因为a＝b＝1，所以f(x)＝x?2－x＋lnx，

从而f ′(x)＝2x?－1＋．

因为f(1)＝0，f ′(1)＝2，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－0＝2(x－1)，

即2x－y－2＝0． …………………… 3分

（2）因为b＝2a＋1，所以f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋lnx，

从而f ′(x)＝2ax－(2a＋1)＋＝＝，x＞0．………… 5分

当a≤0时，

x∈(0，1)时，f ′(x)＞0，x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＜0，

所以，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．………………… 7分

当0＜a＜时，

由f′(x)＞0得0＜x＜1或x＞，由f ′(x)＜0得1＜x＜，

所以f(x)在区间(0，1)和区间(，＋∞)上单调递增，在区间(1，)上单调递减．

当a＝时，

因为f ′(x)≥0（当且仅当x＝1时取等号），

所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．

当a＞时，

由f ′(x)＞0得0＜x＜或x＞1，由f ′(x)＜0得＜x＜1，

所以f(x)在区间(0，)和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(，1)上单调递减．

…………………… 10分

（3）方法一：因为a＝1，所以f(x)＝x2－bx＋lnx，从而f ′(x)＝ (x＞0)．

由题意知，x1，x2是方程2x2－bx＋1＝0的两个根，故x1x2＝．

记g(x) ＝2x2－bx＋1，因为b＞3，所以g()＝＜0，g(1)＝3－b＜0，

所以x1∈(0，)，x2∈(1，＋∞)，且bxi＝2x＋1 (i＝1，2)． …………………… 12分

f(x1)－f(x2)＝(x－x)－(bx1－bx2)＋ln＝－(x－x)＋ln．

因为x1x2＝，所以f(x1)－f(x2)＝x－－ln(2x)，x2∈(1，＋∞)．……………… 14分

令t＝2x∈(2，＋∞)，φ(t)＝f(x1)－f(x2)＝－－lnt．

因为φ′(t)＝≥0，所以φ(t)在区间(2，＋∞)单调递增，

所以φ(t)＞φ(2)＝－ln2，即f(x1)－f(x2)＞－ln2． …………………… 16分

方法二：因为a＝1，所以f(x)＝x2－bx＋lnx，从而f ′(x)＝ (x＞0)．

由题意知，x1，x2是方程2x2－bx＋1＝0的两个根．

记g(x) ＝2x2－bx＋1，因为b＞3，所以g()＝＜0，g(1)＝3－b＜0，

所以x1∈(0，)，x2∈(1，＋∞)，且f(x)在[x1，x2]上为减函数．…………………… 12分

所以f(x1)－f(x2)＞f()－f(1)＝(－＋ln)－(1－b)＝－＋－ln2．

因为b＞3，故f(x1)－f(x2)＞－＋－ln2＞－ln2．…………………… 16分

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