江苏省启东中学2016-2017学年度第一学期第一次月考

高三(理科)数学试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

1.已知
，则实数
的值是 ▲ .

2.命题“
”的否定是 ▲ .

3.已知向量
，且
，则
▲ .

4.函数
定义域 ▲ .

5.将函数
的图像向左平移
个单位，再向上平移1个单位，所得图像的

函数解析式为 ▲ .

6.已知集合A=
,集合B=
，若命题“
”是命题“
”充分不

必要条件，则实数
的取值范围是 ▲ .

7. 函数
，若对于
恒有
，则
的取值范围 ▲ .

8.已知
中，角
的对边分别为
，且
，则
的值是

▲ ．

9.设
为锐角，若
，则
▲ .

10.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，
，AB = 3，

AD = ，E为BC中点，若· = 3，则· = ▲ ．

11.已知函数
在定义域
上是偶函数，在
上单调递减， 并且

，则
的取值范围是 ▲ .

12.已知函数
有两个零点，则
的取值范围 ▲ .

13.若曲线
与曲线
在它们的公共点
处具有公共切线，则
▲ .

14. 设函数
，其中
，若存在唯一的整数
，使得
，

则
的取值范围是 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)已知命题
,使等式
成立是真命题.

（1）求实数
的取值集合
.

(2)设不等式
的解集为
，若
是
的必要条件，求
的取

值范围.

16．(本小题满分14分)在
中，三个内角分别为
，已知
．

（1）求角A的值；

（2）若
，且
，求
．

17. (本小题满分14分) 已知函数
（其中
为参数）.

（1）当
时，证明：
不是奇函数；

（2）如果
是奇函数，求实数
的值；

（3）已知
，在（2）的条件下，求不等式
的解集.

18. （本小题满分16分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos C＝.

(1) 若·＝，求c的最小值；

(2) 设向量x＝(2sin B，－)，y＝，且x∥y，求sin(B－A)的值．

19．（本小题满分16分）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其

中BMN是半径为1百米的扇形，
．管理部门欲在该地从M到D修建小路：

在弧MN上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．问：点P

选择在何处时，才能使得修建的小路
与PQ及QD的总长最小？并说明理由．

20. （本小题满分16分）已知函数
，
．

（1）若曲线
在
处的切线的方程为
，求实数
的值；

（2）设
，若对任意两个不等的正数
，都有
恒

成立，求实数
的取值范围；

（3）若在
上存在一点
，使得
成立，求实数
的取

值范围．

江苏省启东中学2017届高三第一次调研测试

理科数学答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

1.答案：－1

2. 答案：

3. 答案：

4. 答案：

5.答案：
也可
.

6.答案：

7. 答案：

8.答案：

9.答案：

10.以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 设CD=x，则

=（3，0）， =（x，）由· = 3解得x=1．所以=（2，
）， =

（-2，），所以· =??

11.因为函数
在定义域
上是偶函数，所以
，所以
.所以
，即
，所以函数
在
上单调递减，而
，所以由
得，
，解得

12.
或
.

13.对曲线
求导可得
，对曲线
求导可得
，因为它们在公共点
处具有公共切线，所以
，即
，又
，即
，将
代入，所以
.所以
，
，即
.

14.解析：设g(x)＝ex(2x－1)，y＝ax－a，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)在直线y＝ax－a的下方．因为g′(x)＝ex(2x＋1)，所以当x＜－时，g′(x)＜0，当x＞－时，g′(x)＞0，所以当x＝－时，[g(x)]min＝－2e－，当x＝0时，g(0)＝－1，g(1)＝3e＞0，直线y＝ax－a恒过(1，0)，且斜率为a，故－a＞g(0)＝－1，且g(－1)＝－3e－1≥－a－a，解得≤a＜1.

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.(1)
.................................................................................5分

(2)分
………7分. 当
时得
…………..9分.当
得
…..11分

综上所述:
或
……………………………..14分.

16.解：.因为
，得
，即
，因为
，且
，所以
，所以
. …………4分

（1）因为
，
，
，所以

由正弦定理知
，即
，即
.…………7分

（2）因为
，所以
，

因为
，所以
， …………10分

所以
.……14分

17. 1）
，∴
，
，

∵
，∴
不是奇函数………………………………4分

（2）∵
是奇函数时，
，

即
对定义域内任意实数
成立，

化简整理得关于
的恒等式
，

∴
，即
或
………………………………8分

（注：少一解扣1分）

（3）由题意得
，∴
，易判断
在
上递减，∵
，∴
，∴
，∴
，∴
，即所求不等式的解集为
………………………..14分

18.解：(1) ∵ ·＝，∴ abcosC＝，∴ ab＝15…………………..3分

∴ c2＝a2＋b2－2abcosC≥2ab－2ab·＝21(当且仅当a＝b时取等号)．

∵ c＞0，∴ c≥，…………………………………………………………..5分

∴ c的最小值为…………………………………………………….7分

(2) ∵ x∥y，∴ 2sin B＋cos2B＝0，

2sinBcosB＋cos2B＝0，即sin 2B＋cos2B＝0，

∴ tan2B＝－，∴ 2B＝或，∴ B＝或……………………10分

∵ cos C＝＜，∴ C＞，

∴ B＝(舍去)，∴ B＝……………………………………………..12分

∴ sin(B－A)＝sin[B－(π－B－C)]

＝sin＝sinCcos－cos Csin

＝×－×＝…………………………………………..16分

19．连接
, 过
作
垂足为
, 过
作
垂足为

设

，

…………………2分

若
，在
中，

若
则

若
则

…………………………4分

在
中，

…………………………6分

所以总路径长

……………………10分

………………12分

令
，

当
时，

当
时，
…………………………14分

所以当
时，总路径最短.

答：当
时，总路径最短. ……16分

20.解：（1）由
，得
，

由题意，
，所以
． ………………………………3分

（2）
，

因为对任意两个不等的正数
，都有
，

设
，则
，即
恒成立，

问题等价于函数
，即
在
为增函数．…6分

所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立，

所以
，即实数
的取值范围是
．……………………………8分

（3）不等式
等价于
，

整理得
．

设
，由题意知，在
上存在一点
，使得
．………10分

由
．

因为
，所以
，即令
，得
．

① 当
，即
时，
在
上单调递增，

只需
，解得
． ………………………………………………12分

② 当
，即
时，
在
处取最小值．

令
，即
，可得
．

考查式子
，

因为
，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立．……………14分

③ 当
，即
时，
在
上单调递减，

只需
，解得
．

综上所述，实数
的取值范围是
． …………………………16分

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