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“四校”2016-2017学年度高三第一次联考

理科数学试题

本试题卷共4页，24题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将答题卡上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．设复数
满足
，其中
为虚数单位，则在复平面内,
对应的点的坐标

是( )

A．
B．
C．
D．

3．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有懒女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个懒惰的女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（ ）

A．
尺 B．
尺 C．
尺 D．
尺

4．设
是R上的任意函数,则下列叙述正确的是（ ）

A．
是奇函数

B．
是奇函数

C．
是偶函数

D．
是偶函数

5．若函数
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

6．执行如图所示的程序框图，如果输入
，则输出的
( )

A．
B．
C．
D．

7．如图，格纸上小正方形的边长为
，粗线画出的是

某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )

A．
B．
C．
D．

8．已知双曲线
（
）的离心率为
，

则该双曲线的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的

距离之比为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知函数
，
是定义在
上的奇函数，

当
时，
，则函数
的大致图象为（ ）

10．设
为抛物线

的焦点，过
且倾斜角为
的直线交
于
，
两点，

为坐标原点，则
的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

11．函数
（
）的图象关于
对称，则
是（　 　）

A．图象关于点
对称的函数 B．图象关于点
对称的函数

C．图象关于点
对称的函数 D．图象关于点
对称的函数

12．已知函数
存在单调递减区间，且
的图象在
处的切线
与曲线
相切，则符合情况的切线
（ ）

A．有
条　　　 B．有
条　　 　C． 有
条　　　 D．不存在

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)~(24)题为选考题，考生根据要求作答.

:二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13．已知实数
、
满足
，则
的最小值是 .

14．已知向量
与
的夹角为
，
，
，则
.

15．
的展开式中
的系数是 .

16．数列
的前
项和为
，且
，
，则数列
的通项公式为 .

三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．（本小题满分12分）

如图，在梯形
中，
，
，
.

(Ⅰ)若
，求
的长；

(Ⅱ)若
，求
的面积.

18．（本小题满分12分）

一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为
的函数：

，
，
，
，
，
．

（Ⅰ）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，

求所得函数是奇函数的概率；

（Ⅱ）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数
的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥
中，
平面
，
，
，

分别为线段
上的点，且
，
.

(Ⅰ) 证明：
平面
；

(Ⅱ) 求二面角
的余弦值.

20．（本小题满分12分）

已知椭圆


的离心率为
，短轴一个端点到右焦点的距离为
.

(Ⅰ) 求椭圆
的方程;

(Ⅱ) 设直线
与椭圆
交于
、
两点，坐标原点
到直线
的距离为
，

求
面积的最大值.

21．（本小题满分12分）

已知函数
．

(Ⅰ)当
时，求函数
的极值；

(Ⅱ)讨论
的单调性；

(Ⅲ)若对任意的
，恒有
成立，

求实数
的取值范围．

请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
过平行四边形
的三个顶点
，且与
相切，交
的延长线于点
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
是
的三等分点，且
，求
．

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，曲线
的方程为
，以原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
。

（Ⅰ）写出
的极坐标方程，并求
与
的交点
，
的极坐标；

（Ⅱ）设
是椭圆
上的动点，求
面积的最大值。

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
．

（Ⅰ）当
时，求函数
的最大值；

（Ⅱ）若存在
，使得
，求实数
的取值范围．

高三第一次“四校”联考理科数学试题参考答案

一、选择题答题卡（共12个小题，每小题5分，共60分）。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

B

B

D

A

C

D

A

B

C

A

D



二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）.

13．
14.

15.
16.

详细解答：

一、本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.

1．【解析】D.
，
，
，故选D。

2．【解析】B.
,故选B。

3．【解析】B.问题模型为等差数列，首项为5，末项为1，项数为
，其和为
，故选B。

4．【解析】D. A选项中
则
，即函数

为偶函数，B中
，
此时
与
的关系不能确定，即函数
的奇偶性不确定，C中
，
，即函数
为奇函数，D中
，
，即函数
为偶函数，故选D。

5．【解析】A.
，
，故选A。

6. 【解析】C.由图得，输出的
为数列
的前四项和，而

，
，
，故选C。

7．【解析】D.受三视图的启发，据三视图，想象感知、分析校正、操作确认得原实物图为：在一个水平横躺的底面半径为
，高为
的圆柱中，在其前方、上侧的左侧挖去
部分后余下的部分. 所以该几何体的体积为
.故选D。

8．【解析】A. 如图，过双曲线的顶点
、焦点
分别向其渐近线作垂线，

垂足分别为
、
，


，故选A。

9．【解析】B.因为
是偶函数，
是奇函数，所以
是在
上的奇函数，可排除A、C，当
时，
可排除D，选B．

10．【解析】C.解法一：
，设
，
，
。故选C。

解法二：直线
的方程为
，即
.联立

将
代入①并整理得
，
，

解法三：联立 将①代入②并整理得x2－x＋＝0，∴x1＋x2＝，

∴线段|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，又原点(0，0)到直线AB的距离为d＝＝.

∴
。故选C。

11．【解析】A. 函数
的图象关于
对称，

，

，[]