广东省实验中学 2016-2017学年高三级9月月考试题

理科数学

2016年9月

本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项：略

第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）

选择题：(本大题共12小题，每小题5分)

1．已知复数


（其中i是虚数单位），则
=( )

A、2
B、2
C、3
D、3

2．已知集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．抛物线x2 =4y上一点P到焦点的距离为3，则点P到y轴的距离为( )

A．
B．1 C．2 D．3

4．某小区有1000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N(300，l00)，则用电量在320度以上的户数估计约为( )

（参考数据：若随机变量
服从正态分布N（μ，σ2），则
=68.26%，
= 95.44%,
=99.74%．）

A．17 B．23 C．34 D．46 ．

5．设变量
满足约束条件
，且目标函数
为正数）的最大值为1，则
的最小值为（ ）.

A、
B、
C、
D、

6．已知函数f(x)=2cos(
x+
)图象的一个对称中心为(2，0)，且f(1)>f(3)，要得到函数f(x)的图象可将函数y=2cos
x的图象( )

A．向左平移
个单位长度 B．向左平移
个单位长度

C．向右平移
个单位长度 D．向右平移
个单位长度

7．函数y＝的图像大致为 (　　)

8．一个正三棱柱的主（正）视图是长为2
,宽为4的矩形,则它的外接球的表面积等于( ) A.
B.
C.
D.

9．过双曲线
的右焦点
作直线
的垂线,垂足为
,交双曲线的左支于
点,若
,则该双曲线的离心率为（ ）

A.
B.2 C.
D.

10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角B为锐角，且2 sinAsinC=sin2B，则
的取值范围为（ ）

A、
B、
C、
D

11．如图，在直角坐标平面中正方形OACB的边长为1，点P为扇形

OAB的弧
上任意一点，D为OA的中点，

E为OB的中点，

,

设
，则
的最大值为（ ）

A、
B、—2 C、
D、

12.已知
，又


，若满足
的
有四个，则
的取值范围为( )

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，第22题～第24题为选考题.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13．已知
展开式的常数项是
，则由曲线
和
围成的封闭图形的面积为

14．已知
设函数
的最大值为P,最小值为Q,则P+Q的值为_______．

15.已知点O是三角形ABC的边BC靠近B的一个三等份点，过点

O的直线交直线AB、AC分别于M、N；
，
，

则

16．对于平面向量
，我们定义它的一种“新模长”为
仍记作

即
在这种“新模长”的定义下，给出下列命题：

（1）对平面内的任意两个向量
总有
；

（2）设
为坐标原点，点
在直线
上运动，则
的最小值=1；

（3）设
为坐标原点，点
在圆
：
上运动，则
的最大值=2；

（4）设
为坐标原点，点
在椭圆
上运动，则
的最小值=2；

写出所有正确命题的序号________________________.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.

17. （本小题满分12分）

设函数f(x)=cos(2x+
)+2cos2x，x∈R．

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和单调减区间；

（Ⅱ）将函数f(x)的图象向右平移
个单位长度后得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间
上的最小值．

18．（本小题满分12分）

某大学为了在2016年全国大学生成语听写大赛中取得优秀成绩，组织了100个人参加的成语听写大赛集训队集训，集训时间为期一个月. 集训结束时，为了检查集训的效果，从这100个队员中随机抽取9名队员员参加成语听写抽测，抽测的成绩设有A、B、C三个等级，分别对应5分，4分，3分，抽测的结果恰好各有3名队员进入三个级别. 现从这9名队员中随机抽取n名队员（假设各人被抽取的可能性是均等的，1≤n≤9），再将抽取的队员的成绩求和．

(I)当n=3时，记事件A={抽取的3人中恰有2人级别相同}，求P(A)；

(Ⅱ)当n=2时，若用
表示n个人的成绩和，求
的分布列和期望．

19．（本小题满分12分）

已知底面为矩形的四棱锥D-ABCE，AB=1,BC=2，AD =3，DE=
；，且二面角D-AE-C的正切值为－2.

求证：平面ADE⊥平面CDE；

求点D到平面ABCE的距离；

（3） 求二面角A一BD —C的大小．

20．（本小题满分12分）

已知圆
的公共点的轨迹为曲线
,且曲线
与
轴的正半轴相交于点
．若曲线
上相异两点
、
满足直线
,
的斜率之积为
．

（Ⅰ）求
的方程；

（Ⅱ）证明直线
恒过定点，并求定点的坐标；

21．（本小题满分12分）

已知函数
．

（1）当
时，证明：
；

（2）当
，且
时，不等式
成立，求实数的值．

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。

22．选修4—1：几何证明选讲

如图,
是圆
的直径,点
在圆
上，延长
到
使
,过
作圆
的切线交
于
．若
,
．

（1）求证：
；

（2）求
的长．

23．选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线
的参数方程为
(
为参数),
在点
处的切线为
,以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求
的极坐标方程；

（2）过点
任作一直线交曲线C于
两点，求
的最小值．

24．选修4—5：不等式选讲：

设函数
．

证明：
；（2）若
，求
的取值范围．

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