2014级高三上学期第一次月考试题

文科数学

一．选择题

1. 设全集
，集合
，
，则
( )

A.{5} B.{1,2,5} C.
D.

2．已知函数
，如果
，且
，则它的图象可以是(　　)

3．已知命题
，命题q：
，则下列命题是真命题的是(　　)

A.
B.
C.
D.

4．左图是谈校长某日晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图像．若用黑点表示谈校长家的位置，则谈校长散步行走的路线可能是(　　)

5．给出下列函数：

①
； ②
；

③
④

则它们共同具有的性质是 (　　)

A．周期性 B．偶函数 C．奇函数 D．无最大值

6.设函数
定义在
上，则“
”是“
在
上存在零点”的（ ）

A．充分而不必要条件. B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7.设
都是锐角，则下列各式中成立的是 （ ）

A.
B.

C.
D.

8．已知函数
在
∈(0，＋∞)上的图象恒在
轴上方，

则
的取值范围是(　　)

A．
B．

C．
D．

9．函数
有两个不同的零点,则实数
的取值范围是( 　)

A．
B
C．
D．

10. 已知锐角A是三角形ABC的一个内角，
是各内角所对的边,

若
，则下列各式正确的是 （ ）

A.
B.
C.
D.

11.若关于
的不等式
至少有一个负数解，则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．
（ ）

12．已知函数
是R上的偶函数，对于
都有

成立，且
，当
，且
时，都有
．则给出下列命题：

①
； ②
为函数
图象的一条对称轴；

③函数
在
上为减函数； ④方程
在
上有4个根；其中正确的命题个数为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

二. 填空题

13．函数
的图像关于点 对称．

14．已知
，则
＝ ．

15.关于
的方程
的解的个数为 ．

16．已知
，若实数
满足
，则
的最小值为________．

三. 解答题

17．设集合
，
.

(1)当
时，求A的非空真子集的个数；

(2)若B =
，求
的取值范围；

(3)若
，求
的取值范围.

18. 在
中，角A,B,C，的对边分别是
，已知
，

．

(Ⅰ)求
的值；

(Ⅱ) 若角A为锐角，求
的值及
的面积．

19. 已知函数
.

（1）求函数
的最小正周期与单调增区间；

（2）求函数
在
上的最大值与最小值．

20．已知二次函数
有两个零点0和－2，且
最小值是－1，函数
与
的图象关于原点对称．

(1)求
和
的解析式；

(2)若
在区间[－1,1]上是增函数，求实数
的取值范围．

21.已知函数
，满足
，

且
是偶函数．

（1）求函数
的解析式；

（2）设
，若对任意的
，不等式

恒成立，求实数
的取值范围．

22.设函数

（1）求曲线
在点
处的切线方程；

（2）设
，若函数
有三个不同零点，求
的取值范围；

（3）求证：
是
有三个不同零点的必要而不充分条件.

2014级高三上学期第一次月考文科数学答案

一．选择题 B D B D C D C C B A A D

2．D 解析：由a>b>c，a＋b＋c＝0知a>0，c<0，因而图象开口向上，又f(0)＝c<0，故D项符合要求．

3. B【解析】由方程x2＋ax－4＝0得，Δ＝a2－4×(－4)＝a2＋16＞0，所以命题p为真命题.当x＝0时，20＝30＝1，所以命题q为假命题，所以
为假命题，
为真命题，
为假命题，
为假命题.

8．C　解析：(方法一)令t＝3x，则问题转化为函数g(t)＝t2－mt＋m＋1在t∈(1，＋∞)上的图象恒在x轴的上方，

即Δ＝(－m)2－4(m＋1)＜0或解得m＜2＋2.

(方法二)令t＝3x，问题转化为m＜，t∈(1，＋∞)，

即m比函数y＝，t∈(1，＋∞)的最小值还小，

又y＝＝t－1＋＋2≥2＋2＝2＋2，

所以m＜2＋2.

9.　B 解析　函数f(x)＝lnx－x－a的零点，即关于x的方程lnx－x－a＝0的实根，将方程lnx－x－a＝0化为方程lnx＝x＋a，令y1＝lnx，y2＝x＋a，由导数知识可知，直线y2＝x＋a与曲线y1＝lnx相切时有a＝－1，若关于x的方程lnx－x－a＝0有两个不同的实根，则实数a的取值范围是(－∞，－1)．故选B.

11.【解析】关于
的不等式
，即
，且
，在同一坐标系中，画出
和函数
的图象，当函数
的图象则左支经过点
时，求得
，当函数
的图象则右支和
图象相切时，方程组
有唯一的解，即
有唯一的解，故
，解得
，∴实数
的取值范围是
．

12.试题分析：令
，由
得
，又函数
是R上的偶函数，所以
.
.即函数
是以6为周期的周期函数.所以
.又
，所以
，从而
；又函数关于
轴对称.周期为6，所以函数
图象的一条对称轴为
；又当
，且
时，都有
，

设
，则
.故易知函数
在
上是增函数.根据对称性，易知函数
在
上是减函数，又根据周期性，函数
在
上为减函数；因为
，又由其单调性及周期性，

可知在[﹣9，9]，有且仅有
，

即方程
在[9，9]上有4个根.综上所述，四个命题都正确.

二、填空题

13. (0，1) 14.　－x2＋2x(0≤x≤2) 15. 2 16. 7

14. 解析　令1－cosx＝t(0≤t≤2)，则cosx＝1－t.

∴f(1－cosx)＝f(t)＝sin2x＝1－cos2x＝1－(1－t)2＝－t2＋2t.

故f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)．

16.解析　由已知得log2(m－2)＋log2(2n－2)＝3，

即log2[(m－2)(2n－2)]＝3，

因此于是n＝＋1.

所以m＋n＝m＋＋1＝m－2＋＋3≥2＋3＝7.

当且仅当m－2＝，即m＝4时等号成立，

此时m＋n取得最小值7.

三、解答题

17. 解：化简集合A=
，　　 ………………………………１分

集合B可写为
　　　 ……………………２分

(1)
,即A中含有8个元素，

A的非空真子集数为
（个）. 　 ………………………………3分

(2)显然只有当m-1=2m+1即m=-2时，B=
.…………………………………5分

(3)当B=
即m=-2时，
； ………………………………………6分

当B
即
时

（ⅰ）当m<-2 时，B=(2m-1,m+1),要

只要
，所以m的值不存在；…………………8分

（ⅱ）当m>-2 时,B=（m-1,2m+1）,要

只要
. ………………………………………9分

综合，知m的取值范围是
……………10分

18. 解：(Ⅰ) 因为
，且
， 所以
．

因为
，由正弦定理
，

得
．……………………………………………6分

(Ⅱ) 由
得
．

由余弦定理
，得
．

解得
或
（舍去）．

所以
．…………………………………12分

19. 解：

. …………2分

（Ⅰ）
的最小正周期为
…………………4分

令
，解得
，

所以函数
的单调增区间为
. ……6分

（Ⅱ）因为
，所以
，所以
，

于是
，所以
. …………………8分

当且仅当
时，
取最小值
.…………10分

当且仅当
，即
时最大值
……12分

20．解析：(1)依题意，设f(x)＝ax(x＋2)＝ax2＋2ax(a>0)．

∵f(x)图象的对称轴是x ＝－1，

∴f(－1)＝－1，即a－2a＝－1，得a＝1.

∴f(x)＝x2＋2x. …………………………………………2分

又∵函数g(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，

∴g(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x. …………………………………………4分

(2)由(1)得h(x)＝x2＋2x－λ(－x2＋2x) ＝(λ＋1)x2＋2(1－λ)x.

① 当
时，h(x)＝4x满足在区间[－1,1]上是增函数；

② 当λ<－1时，h(x)图象对称轴是x＝，

则≥1，又λ<－1，解得λ<－1；

③当λ>－1时，同理则需≤－1，

又λ>－1，解得－1<λ≤0.

综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]． ……………………………12分

21.解（1）

-…………3分

（2）
，易知
在R上单调递增，

，

即
对任意
恒成立， ……………………………………5分

令
得

当
时，
在
上单调递增，

或
，
；…………………7分

②当
即
时，
在
上单调递增减，

，此式恒成立，

………………………………………………………………9分

③当
时，

． ………………………………………………………………11分

综上，实数
的取值范围的取值范围为
．………12分

22.（Ⅰ）由，得
．

因为
，

所以曲线
在点
处的切线方程为
．………2分

（Ⅱ）当
时，，

所以