华南师大附中2017届高三综合测试（一）

数学（理科）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集
，集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.命题“
”的否定是（ ）

A．
B．
C．
D．

3.设
，则下列关系中正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

4.设
，则“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5.已知
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

6.由曲线
，直线
及
轴所围成图形的面积是（ ）

A．
B．4 C．
D．6

7.已知函数
在
单调递减，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

8.函数
与
在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）

A．
B．
C．
D．

9.已知
在偶函数，且
在
单调递减，若
，则
的解集为（ ）

A．
B．
C．
D．

10.已知函数
，则
的大小关系为（ ）

A．
B．

C．
D．

11.下列命题中是假命题的是（ ）

A．
，使
是幂函数，且在
上递减

B．函数
的值域为
，则

C．关于
的方程
至少有一个负根的弃要条件是

D．函数
与函数
的图像关于直线
对称

12.已知函数
是定义在
上的以4为周期的函数，当
时，
，其中
．若函数
的零点个数是5，则
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.函数
的定义域为____________．

14.已知集合
，若
，则实数
的所有可能取值的集合为____________．

15.若
，且
，则
__________．

16.过函数
图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围是__________．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分10分）

已知集合
．

（1）分别求
；

（2）已知集合
，若
，求实数
的取值集合．

18.（本小题满分12分）

已知
实数
满足
，其中
实数
满足
．

（1）若
，且
为真，求实数
的取值范围；

（2）若
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围．

19.（本小题满分12分）

函数
是定义在实数集
上的奇函数．

（1）若
，试求不等式
的解集；

（2）若
且
在
上的最小值为-2，求
的值．

20.（本小题满分12分）

某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为
，山区边界曲线为
．计划修建的公路为
，如图所示，
为
的两个端点，测得点
到
的距离分别为5千米和40千米，点
到
的距离分别为20千米和2.5千米，以
所在直线分别为
轴，建立平面直角坐标系
．假设曲线
符合函数
（其中
为常数）模型．

（1）求
的值；

（2）设公路
与曲线
相切于
点，
的横坐标为
．

①请写出公路
长度的函数解析式
，并写出其定义域；

②当
为何值时，公路
的长度最短？求出最短长度．

21.（本小题满分12分）

已知定义为
的函数
满足下列条件：①对任意的实数
都有：

；②当
时，
．

（1）求
；

（2）求证：
在
上为增函数；

（3）若
，关于
的不等式
对任意
恒成立，求实数
的取值范围．

22.（本小题满分12分）

已知函数
．

（1）设
是函数
的极值点，求
并讨论
的单调性；

（2）设
是函数
的极值点，且
恒成立，求
的取值范围（其中常数
满足
）．

参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

D

A

A

B

C

D

C

D

A

D

B



二、填空题

13.
14.
15.
16.

三、解答题：

17.解：（1）∵
，即
，∴
，∴
，．．．．．．．．．．．2分

∵
，即
，∴
，∴
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

当
为空集时，
，

当
为非集合时，可得
，

综上所述
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

18.解：（1）对
由
得
，

因为
，所以
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　2分

当
时，解得
，即
为真时，实数
的取值范围是
．

又
为真时实数
的取值范围是
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

若
为真，则
真且
零点，

所以实数
的取值范围是
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　6分

（2）
是
的必要不充分条件 ，即
，且
，

设
，则
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

又
；

所以有
解得
，所以实数
的取值范围是
．．．．．．．．．．．．．．．．12分

19.解：（1）∵
是定义在
上的奇函数，

∴
，∴
，∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

∵
，∴
，又
且
，∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

易知
在
上单调递增，原不等式化为：
，

∴
或
，

∴不等式的解集为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）∵
，∴
，……
，∴
（舍去）

∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

令
，

∵
，∴
，∴
，

当
时，当
时，
，∴
，

当
时，当
时，
，

解得
，舍去，

综上可知
．．．．．．．．．．．．12分

20.解：（1）由题意知，点
的坐标分别为
．

将其分别代入
，得
，解得
．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）①由（1）知，
，则点
的坐标为
，

设在点
处的切线
交
轴分别交于
点，
，

则
的方程为
，由此得
．

故
．．．．．．．．．．．．．．．8分

②设
，则
，令
，解得
．

当
时，
，
是减函数；

当
时，
是增函数．

从而，当
时，函数
有极小值，也是最小值，所以
，

此时
，

答：当
时，公路
的长度最短，最短长度为
千米．．．．．．．．．．．．．．．．12分

21.解：（1）令
，恒等式可变为
，解得
．．．．．．．．．．．．1分

（2）任取
，则