2016-2017学年度第一学期汕头市金山中学

高三理科数学期中考试卷

命题人：张培光

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合
，
，则
（ ）

A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）

2．已知命题：

:在
中，“
”是“
为锐角三角形”的必要不充分条件;

:
.

则下列命题为真命题的是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知平面向量
，
满足|
|=1，|
|=2，且
，则
与
的夹角为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知函数
，则下列结论中正确的是(　 　)．

A．关于点
中心对称 B．关于直线
轴对称

C．向左平移
后得到奇函数 D．向右平移
后得到偶函数

5．已知函数
是函数
的导函数，则
的图象大致是( )

(A) (B) (C) (D)

6．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在

22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　 )

A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时

7．如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为 (　 　)．

A．8 　　　 B．9

C．14 　　　 D．8

8．若
是定义在
上的奇函数，满足
，当
时，
，则
的值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

9．记max{x，y}＝，min{x，y}＝，设a，b为平面向量，则(　 　)

A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|} B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}

C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2 D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2

10．已知
是定义在
上的函数，对任意两个不相等的正数
，都有
，记
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

11．定义在
上的函数
满足：
是
的导函数，则不等式
（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）

A.
B.
C.
D.

12．函数f(x)在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有f()≤[f(x1)＋f(x2)]，则称f(x)在[a，b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题：

①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的；

②f(x2)在[1， ]上具有性质P；

③若f(x)在x＝2处取得最大值1，则f(x)＝1，x∈[1,3]；

④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有f()≤[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)]．

其中真命题的序号是 (　 　)

A．①② B．③④ C．①③ D．②④

第II卷(非选择题共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题?第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题?第24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．由抛物线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2及x轴围成的图形面积为 ．

14．曲线C：f(x)＝sin x＋ex＋2在x＝0处的切线方程为 ．

15．若函数
在区间
内是减函数，则
的取值范围是 ．

16．已知函数
恰有两个不同的零点，则实数
的取值范围是 .

三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．(本小题满分12分）

在△ABC中，
、
、
分别为角A、B、C的对边，若
，

，且
.

(1)求角A的大小；

(2)当
，且△ABC的面积
时，求边
的值和△ABC的面积．

18．(本小题满分12分）在四棱锥
中，平面
平面
，

为等边三角形,
,

,
,点
是
的中点．

（I）求证:
平面
；

（II）求二面角
的余弦值；

19．(本小题满分12分）

某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．

(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；

(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望E(ξ)．

20．(本小题满分12分）

已知椭圆
的短轴长为2，离心率为
，直线
与椭圆
交于
两点，且线段AB的垂直平分线通过点
．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）求△
（
为坐标原点）面积的最大值．

21．（本题满分12分）已知函数

(I) 求函数
在
上的最大值；

(II)如果函数
的图像与
轴交于两点
、
，且
.
是
的导函数，若正常数
满足
.

求证：
．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图,
四点在同一个圆上，
与
的延长线交于点
,点
在
的延长线上.

（1）若
，求
的值；

（2）若
,证明:
．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，取原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
的极坐标方程为
，直线
的参数方程为：
(
为参数）

(I )求曲线
的直角坐标方程，直线
的普通方程；

(II)先将曲线
上所有的点向左平移1个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的
倍得到曲线
，
为曲线
上一动点，求点
到直线
距离的最小值，并求出相应的
点的坐标．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
.

（1）解不等式
；

（2）若对任意
,都有
,使得
成立, 求实数
的取值范围．

2016-2017学年度第一学期汕头市金山中学

高三理科数学期中考试答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

D

B

D

A

C

A

C

D

B

D

B



二、填空题：

13. 2 ； 14. 2x－y＋3＝0 ； 15.
； 16.

第10题解答：由新定义知，max{x，y}是x与y中的较大值，min{x，y}是x，y中的较小值，据此可知A、B是比较|a＋b|与|a－b|中的较小值与|a|与|b|中的较小值的大小，由平行四边形法则知其大小与〈a，b〉有关，故A、B错；

当〈a，b〉为锐角时，|a＋b|>|a－b|，此时|a＋b|2>|a|2＋|b|2.

当〈a，b〉为钝角时，|a＋b|<|a－b|，此时|a＋b|2<|a|2＋|b|2<|a－b|2.

当〈a，b〉＝90°时，|a＋b|＝|a－b|，此时|a＋b|2＝|a|2＋|b|2.

第12题解答：令f(x)＝，可知?x1，x2∈[1,3]都有f()≤[f(x1)＋f(x2)]但函数f(x)在[1,3]上的图象不连续，故①不正确．排除A、C；取函数f(x)＝－x,1≤x≤3，则函数满足题设条件具有性质P，但f(x2)＝－x2,1≤x≤就不具有性质P，故②为假命题，排除D.应选B.

三、解答题：

17．解:(1)由于m⊥n，

所以m·n = —2sin2
+cos 2A+1=—2sin2
+2cos2A

= —2cos2
+2cos2A =2cos2A—cos A—1 = (2cos A+1)(cos A—1) = 0. ……..4分

所以cos A= -
或1(舍去),

∴
…………………………..6分

(2)由S=
及余弦定理得 tan C=
,

∴C=
=B. ……..8分

又由正弦定理
=
得
?，……..10分

所以△ABC的面积S=
acsin B=
…………………………..12分

18．（Ⅰ）证明:取
中点
,连结
.

因为
为
中点 ,

所以
.

因为
.

所以
且
.

所以四边形
为平行四边形,

所以
.

因为
,

平面
,

所以
平面
. …………………………..5分

（Ⅱ） 取
中点
,连结

因为
,

所以
.

因为 平面
平面
,

平面
平面
,

平面
,

所以
.………………..6分

取
中点
,连结
,则

以
为原点,如图建立空间直角坐标系, ………..7分

设
则

.…………..9分

平面
的法向量
,

设平面
的法向量
,

由
得

令
，则
.………..10分

.………..11分

由图可知，二面角
是锐二面角，

所以二面角
的余弦值为
. …………………………..12分

19． [解答]　(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1－P()＝1－·p＝，解得p＝.…………4分

(2)由题意，ξ的所有可能取值为0,1,2,3……5分

P(ξ＝0)＝C3＝， P(ξ＝1)＝C2·＝，

P(ξ＝2)＝C·2＝， P(ξ＝3)＝C3＝. ……9分

所以，随机变量ξ的概率分布列为

ξ

0

1

2

3



P