普宁华侨中学2017届高三摸底考试

高三理科数学 2016 09 05

第I卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）

1．若集合
则a的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

2．复数
（是虚数单位）等于( )

A． B．
C． D．

3．命题“若
，则
”的否命题是（ ）

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

4.已知动点P（x，y）满足
，则点P的轨迹是( )

A．两条相交直线 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆

5.函数
（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线

上，其中m＞0，n＞0，则
的最小值为（ ）

A．
B．4 C．
D．

6.设椭圆C：
（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点且PF2
F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（ ）

A．
B．

C．
D．

7．在
中，
是
的中点，
，点
在
上且满足
，则
等于

A.
B.
C.
D.

8. 已知sin
－3cos
=0，则
()。

A.
B.
C.2 D.

9.已知数列{an}是等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n是（ ）

A．18 B．19 C．20 D．21

10. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )

A.
B.
C.
D.

11. 从
中任取
个不同的数，则取出的
个数之差的绝对值为
的概率是（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

12. 设函数
，若
，
，则函数
的零点个数为

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.

13．已知
，
，则
.

14．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为 ．

15．函数

的导函数
．

我校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）：

心晴社

话剧社

羽毛球社



高一

45

30





高二

15

10

20



 学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取
人，结果心晴被抽出
人，则
的值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且c = 2,C =
.

（1）若△ABC的面积等于
，求a、b；

（2）若 sin C + sin(B - A) = sin 2 A，求A的值.

18.(本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元。现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的 易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的 易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

（1）求X的分布列；

（2）若要求P(X≤n) ≥0.5，确定n的最小值；

（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？

19.(本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1BC丄侧面A1AB B1，且 AA1 = AB = 2.

（1）求证：AB丄BC ；

（2）若直线AC与面A1BC所成的角为
，求二面角A-A1C-B的大小.

20. (本小题满分12分）已知椭圆
(a ＞ b ＞ 0)的一个焦点是F (1,0)，O为坐标原点.

（1）已椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（2）设过点F的直线L交椭圆于A，B两点，若直线L绕点F任意转动，恒有|OA|2 + |OB|2 ＜|AB|2，求a的取值范围.

21.(本小题满分12分）已知函数

（1）求函数
的单调区间和极值；

（2）已知函数
与函数
的图像关于直线x = 1对称，证明：当x＞1时，f(x) ＞ g(x)；

（3）如果
，证明：
.

四.选做题（从22, 23, 24三道题中选一题作答）

22.(本小题满分10分）选修：几何证明选做题

如图所示，直线PA为圆O的切线，切点为A，直径BC丄OP，连结AB交PO于点D.

（1）证明：PA = PD ；

（2）证