2016—2017学年度高三第一学期第一次周考

数学（文科）试题

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。）

1．设集合
，
，
，则
中元素的个数是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

2．设
，
，则
是
成立的（ ）

A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．不充分不必要条件

3．设函数
，则
（ ）

A．3 B．6 C．9 D．12

4．下列函数中，最小正周期为
且图象关于原点对称的函数是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知等差数列
中，
，前
项和
，则其公差为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．设
满足约束条件
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

7．已知双曲线
的一条渐近线过点
，且双曲线的一个焦点在抛物线
的准线上，则双曲线的方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．执行右图所示程序，则输出的
的值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

9．设复数
，若
，则
的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知
是函数
的一个零点，若
，
，则（ ）

A．
B．

C．
D．

11．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值是（ ）

A．
B．
C．
D．

12．将正奇数排成如图所示的三角形数阵（第
行有
个奇数），其中第
行第
个数表示为
，例如
，若
，则
（ ）

A．26 B．27 C．28 D．29

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．袋中有形状、大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球。从中一次随机取出2个球，则这2个球颜色不同的概率为 ．

14．若曲线
在点
处的切线与直线
平行，则
．

15．已知定点
的坐标为
，点
是双曲线
的左焦点，点
是双曲线右支上的动点，则
的最小值为 ．

16．定义在
上的函数
满足
，当
时，
，则函数
在
上的零点个数是 ．

三．解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17—21题，每题12分，选做题10分，共70分）

17．（12分）已知
分别是
内角
的对边，
．

⑴若
，求
；

⑵若
，且
，求
的面积．

18．（12分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为
．

⑴求频率分布图中
的值；

⑵估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

⑶从评分在
的受访职工中，随机抽取2人，

求此2人评分都在
的概率．

19．（12分）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，四边形
中
，
，且
，点
为
中点．

⑴求证：平面
平面
；

⑵求点
到平面
的距离．

20．（12分）已知椭圆
：
的离心率为
，且点
在
上．

⑴求椭圆
的方程；

⑵直线
不过原点
且不平行于坐标轴，
与
相交于
两点，线段
的中点为
．

证明：直线
的斜率与直线
的斜率的乘积为定值．

21．（12分）设函数
的定义域均为
，且
是奇函数，
是偶函数，
，其中
为自然对数的底数．

⑴求
的解析式，并证明：当
时，
；

⑵设
，证明：当
时，
．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题给分．

22．选修4-1：几何证明选讲（10分）

如图，
是
的直径，弦
的延长线相交于点
，
垂直
的延长线于点
．

⑴求证：
；

⑵求证：
．

23．选修4-4：坐标系与参数方程（10分）

在平面直角坐标系
中，以原点
为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．

已知曲线
：
（
为参数），
：
（
为参数）．

⑴化
的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

⑵若
上的点
对应的参数为
，
为
上的动点，求
的中点
到直线
：
的距离的最小值．

24．选修4-5：不等式选讲（10分）

设函数
．

⑴画出函数
的图象；

⑵若不等式

恒成立，求实数
的取值范围．

2016—2017学年度高三第一学期第一次周考

数学（文科）参考答案及评分标准

17．⑴由题设及正弦定理可得
………………………………2分

又
，可得
………………………………4分

由余弦定理可得
．………………………………6分

⑵由⑴知
．

∵
，由勾股定理得
．………………………………8分

故
，得
．………………………………10分

∴
的面积为
．………………………………12分

18．⑴∵
，∴
． …………3分

⑵由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为
．

∴该企业职工对该部门评分不低于80的概率估计值为
…………………………6分

⑶受访职工评分在
的有：
（人），记为
．

受访职工评分在
的有：
（人），记为
．…………8分

从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是：

．

………………………………10分

又∵所抽取2人的评分都在
的结果有1种，即
，故所求的概率为
．

………………………………12分

19．⑴证明：取
中点
，连接
．

∵
是
中点，∴
．

又∵
，∴
，

∴四边形
为平行四边形．………………………………2分

∵
，∴
平面
．………………………4分

∴
，∴
．

∵
，∴
，∴
平面
．…………………6分

∵
平面
，∴平面
平面
．…………………7分

⑵由⑴知，
．

∴
平面
，即点
到平面
的距离为
．………………………10分

在
中，由
，得
，∴
．

∴点
到平面
的距离为
．………………………………12分

20．⑴由题意有
，…………………………2分

解得
…………………………4分

所以C的方程为
………………………5分

⑵设直线
………………6分

将
代入
得
…………………8分

故

………………………10分

于是直线OM的斜率

所以直线OM的斜率与直线
的斜率的乘积为定值。…………………………12分

21．⑴由
的奇偶性及
① 得
②．

联立①②解得
．……………………2分

当
时，
，故
． ③……………………3分

又由基本不等式，有
，即
． ④………4分

⑵由⑴得
． ⑤

． ⑥…………6分

当
时，
等价于
． ⑦．

等价于
． ⑧

设函数
．

由⑤⑥，有
．……8分

当
时，若
，由③④，得
，故
在
上为增函数．

从而
，即
，故⑦成立．……10分

若
，由③④，得
，故
在
上为减函数．

从而
，即
，故⑧成立．

综合⑦⑧，得

．…………12分

22．⑴∵
为圆的直径，∴
．

又
，则
四点共圆，∴
．………5分

⑵连接
，由⑴知
．

又
，∴