“四校”2016—2017学年度高三第一次联考

文科数学试题

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．集合
的子集个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．复数
（
为虚数单位）等于（ ）

A．2－2
B．2＋
C．
D．

3．若“
” 是 “
或
” 的充分不必要条件，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知向量
，
，若
，
（ ）

A．
B．7 C．－7 D．

5．设
为等比数列
的前
项和，
，则
（ ）

A．11 B．5 C．-8 D．-11

6．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

A．
B．

C．
D．

7．一个四面体共一个顶点的三条棱两两相互垂直，其长分别为
，且四面体的四个顶点在一个球面上．则这个球的表面积为（ ）．

A．16
B．32
C．36
D.64

8．执行如图所示的程序框图，那么输出的S为（ ）

A．3 B．
C．
D．-2

9．设实数
满足
，则
的最大值与最小值的和为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

10．过抛物线
的焦点作直线
交
于
两点，若
，则
（ ）

A．16 B．12 C．10 D．8

11．已知函数
，对一切实数
恒成立，则
的范围为（ ）

A．
B.
C．
D．

12．已知
是直线
上一动点，
是圆
的两条切线，
为圆心，
是切点，若四边形
的最小面积是2，则
的值为（ ）

A．3 B．
C．
D．2

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共4小题．每小题5分，满分20分）

13．三张卡片上分别写有数字1、2、3，将它们排成一行，恰好排成顺序为“321”的概率为 ．.

14．已知
为锐角，且
，则
= ．

15．定义在
上的奇函数
满足
，
，则

16．设
是数列
的前
项和，且
，
，则
．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．( 本题满分12分)

在
中，角
的对边分别为
.满足
.

（1）求角
的大小；

（2）若
的周长为20，面积为
，求
，
.

18．(本小题满分12分)

空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象.全世界也越来越关注环境保护问题.当空气污染指数（单位：
）为0~50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50~100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100~150时，空气质量级别是为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150~200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200~300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染.2015年8月某日某省
个监测点数据统计如下：

空气污染指数

（单位：
）











监测点个数

15

40



10



（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出
的值，并完成频率分布直方图；

（2）在空气污染指数分别为
和
的监测点中，用分层抽样的方法抽取5个监测点，从中任意选取2个监测点，事件
“两个都为良”发生的概率是多少？

19．(本小题满分12分)

如图，在底面为梯形的四棱锥
中，已知
，
，
，
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积．

20.(本小题满分12分)

已知椭圆
上的点到两个焦点的距离之和为
，短轴长为
，直线与椭圆
交于
、
两点。

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若直线与圆
相切，证明：
为定值．

21．(本小题满分12分)

已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）求证：

，不等式
恒成立．

请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时清写清题号。

22．(本小题满分10分) 【选修4-1：几何证明选讲】

如图，
、
切⊙
于
、
，
为⊙
的割线.

（1）求证：
；

（2）已知
，
，求
与
的比值.

23．(本小题满分10分) 【选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数）．以原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆
的方程为
．

（Ⅰ）写出直线
的普通方程和圆
的直角坐标方程；

（Ⅱ）若点
的直角坐标为
，圆
与直线
交于
两点，求
的值．

24．(本小题满分10分) 【选修4-5：不等式选讲】

设函数
．

（1）解不等式
；

（2）若
对一切实数
均成立，求
的最大值．

“四校”2016—2017学年度高三第一次联考文科数学评分标准

一．选择题：共12小题，每小题5分，满分60分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

D

A

B

D

B

A

C

C

B

B

D





二．填空题：共4小题，每小题5分，满分20分．

13.
14.

15．.
16．
或

三、解答题

17.解：（1）由正弦定理

可得
，-------------------------------------1分

代入
，

得
，

即
--------------------------------2分

----------------------------------------3分

即
----------------------------------------4分

∴
， ----------------------------------------5分

又
，则
.------------------------------------------------6分

（2）∵
，--------------------------------7分

∴
，------------------------------------------------8分

又
，

由
得
----------------------------------------9分

∴
，解得
，----------------------------------------10分

∴
，
，又
解得
.--------------------------------12分

18.解：（1）∵
，∴
.--------1分

∵
，∴
.--------2分

，
，
，

频率分布直方图如图所示：--------5分

（2）在空气污染指数为
和
的监测点中分别抽取
个和
个监测点，设空气污染指数为
的
个监测点分别记为
；空气污染指数为
的
个监测点记为
，-----6分

从中任取
个的基本事件分别为
，
，
，
，
，
，
，
，
，
共
种，----------------8分

其中事件
“两个都为良”包含的基本事件为
，
，
，
，
，
共
种，--------10分

所以事件
“两个都为良”发生的概率是
.----------------12分

19.解：（Ⅰ）设
为
的中点，连接
，----------------1分

------------------------2分

--------------------------------3分

又
平面
，且
，

平面
，------------------------4分

又
平面

--------------------------------5分

（Ⅱ）连接
，在
中，

，
为
的中点，

为正三角形，且
，----------------------------------------6分

在
中，
，
为
的中点，---------------------7分

，且
，-------------8分

在
中，
---------------------9分

为直角三角形，且

又
，且

平面
---------------------10分

------------------------11分