2017届柳州铁一中学联考试卷（二）

理科数学

（考试时间 120分钟 满分 150分）

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题12个小题，每题5分，共60分,请将答案涂在答题卷上)

1．已知全集
且
则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2．设复数
满足
，则
（ ）

A．1 B．
C．
D．2

3．已知平面向量
的夹角为
且
，在
中，
，
，
为
边的中点，则
=（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8

4．某年级有1000名学生，随机编号为0001，0002，…，1000，现用系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（ ）

A．0116 B．0927 C．0834 D．0726

5．若某几何体的三视图(单位：
)如图所示，则该几何体的体积等于（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 若
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 若
，则
的展开式中常数项为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．阅读如图所示的程序框图，输出的结果
的值为（ ）

A．0 B．

C．
D．

9．有4名优秀大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个科室，由公司人事部门安排他们到其中任意3个科室上班，每个科室至少安排一人，则不同的安排方案种数为（ ）

A．120 B．240 C．360 D．480

10. 已知
是定义在
上的偶函数，且在
上是增函数，设

则
的大小关系是（ ）

A．
B．
C．
D．

11．过点（
，0）引直线l与曲线
相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于（ ）

A．
B．
C．
D．

12．如图，
，
分别是双曲线
的

左、右焦点，过
的直线
与双曲线的左右两支分别交于点

，
两点.若
为等边三角形，则
的面积为（ ）

A．8 B．
C．
D．16

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题4个小题，每题5分，共20分，请把答案填在答题卡上）

13．已知实数
满足条件
，则
的最大值为__________.

14. 设等比数列
中，前
项和为
，已知
，
则
__________.

15．已知以
为焦点的抛物线
上的两点
，满足
，则弦
的中点到准线的距离为_________.

16．已知三棱锥
中，底面
为边长等于
的等边三角形，
垂直于底面
，
，

那么三棱锥
的外接球的表面积为_________.

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题满分12分）

在数列
中，
，

（1）
，求证数列
是等比数列；

（2）求数列
的通项公式及其前
项和
.

18．（本题满分12分）

众所周知，乒乓球是中国的国球，乒乓球队内部也有着很严格的竞争机制，为了参加国际大赛，种子选手甲与三位非种子选手乙、丙、丁分别进行一场内部对抗赛，按以往多次比赛的统计，甲获胜的概率分别为
，
，
，且各场比赛互不影响.

（1）若甲至少获胜两场的概率大于
，则甲入选参加国际大赛参赛名单，否则不予入选，问甲是否会入选最终的大名单？

（2）求甲获胜场次X的分布列和数学期望.

19．（本题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
，平面
底面
，
为
的中点，
是棱
上的点，
，
，

（1）求证：平面
平面
；

（2）若
，求二面角
的大小．

20．（本题满分12分）

已知抛物线E：
，直线
与E交于A、B两点，且
，其中O为坐标原点.

（1）求抛物线E的方程；

（2）已知点C的坐标为
，记直线CA、CB的斜率分别为
，
，证明
为定值.

21．（本题满分12分）

已知函数
，函数
在
处的切线与直线
垂直.

（1）求实数
的值；

（2）若函数
存在单调递减区间，求实数
的取值范围；

（3）设
是函数
的两个极值点，若
，求
的最小值.

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时标出所选题目的题号.

22．（本小题10分）【选修4-1：几何证明选讲】

已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点,且AB∥DC ，DC的延长线交PQ于点Q．

（1）求证：
；

（2）若AQ＝2AP，AB＝，BP＝2，求QD．

23．（本小题10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在极坐标系中，已知射线C1：θ＝(ρ≥0)，动圆C2：
(x0∈R)．

（1）求C1，C2的直角坐标方程；

（2）若射线C1与动圆C2相交于M与N两个不同点，求x0的取值范围．

24.（本小题10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1．

（1）求a＋b＋c的取值范围；

（2）若不等式|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．

2017届柳州铁一中学联考试卷（二）

数学（理科）参考答案与评分标准

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

A

A

B

B

A

C

A

C

B

B

C



二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.11 14.
15.
16.

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.

所以

19.证明：（1）∵Q为AD的中点，PA=PD=AD=2，BC=1，

∴PQ⊥AD，QD
BC， ∴四边形BCDQ是平行四边形，∴DC∥QB，

∵底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°， ∴BQ⊥AD，

又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB， ∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．…………………………………… 6分

（2）∵PQ⊥AD，平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，

∴PQ⊥底面ABCD，

以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，

则Q（0，0，0），B（0，
，0），C（﹣1，
，0），P（0，0，
），

设M（a，b，c），则
，

即（a，b，c﹣
）=
（﹣1，
，﹣
）=（﹣
，
，﹣
），

∴
，b=
，c=
，∴M（﹣
，
，
），

=（﹣
，
，
），
=（0，
，0），

设平面MQB的法向量
=（x，y，z），则
，

取x=1，得
=（1，0，
），平面BQC的法向量
=（0，0，1），

设二面角M﹣BQ﹣C的平面角为θ，则cosθ=
=
，

∴θ=
，

∴二面角M﹣BQ﹣C的大小为
．……………………………………………………………………………………… 12分

21. 解：（Ⅰ）∵
，∴
.

∵与直线
垂直，∴
，∴
.………………………………………………………2分

（Ⅱ）

由题知
在
上有解，

设
，则
，所以只需

故b的取值范围是
……………………………………………………………………………………………………6分

（Ⅲ）

令
得

由题

，则
…………………………………………………………………………8分

，所以令
，

又
，所以
， 所以

整理有
，解得

……………………………………………………………………………………………………………………10分

，所以
在
单调递减

故
的最小值是
……………………………………………………………………………………12分

22．解：

(1)∵AB∥CD，∴∠PAB＝∠AQC，又PQ与圆O相切于点A，

∴∠PAB＝∠ACB，∵AQ为切线，∴∠QAC＝∠CBA，

∴△ACB∽△CQA，∴＝，即AC2＝CQ·AB……………………………………………………………………5分

(2)∵AB∥CD，AQ＝2AP，∴＝＝＝，由AB＝，BP＝2，得QC＝3，PC＝6，

∵AP为圆O的切线，∴AP2＝PB·PC＝12，∴AP＝2，∴QA＝4，

又∵AQ为圆O的切线 ，∴AQ2＝QC·QD�軶D＝8………………………………………………………………10分

23．解：

(1)∵tan θ＝，θ＝(ρ≥0)，∴y＝x(x≥0)．

所以C1的直角坐标方程为y＝x(x≥0).2分

∵所以C2的直角坐标方程x2＋y2－2x0x＋x－4＝0………………………………………………………4分

(2)联立

关于ρ的一元二次方程ρ2－x0ρ＋x－4＝0(x0∈R)在[0，＋∞)内有两个实根………………………………………6分

即………………………………………………………………………………………………8分

得即2≤x0<4…………………………………………………………………………………………10分

24．解：

(1)由柯西不等式得，(a＋b＋c)2≤(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)＝3，

∴－≤a＋b＋c≤，∴a＋b＋c的取值范围是[－，]…………………………………………………………5分

(2)同理，(a－b＋c)2≤[12＋(－1)2＋12](a2＋b2＋c2)＝3…………………………………………………………………7分

若不等式|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)2对一切实数a，b，c恒成立，

则|x－1|＋|x＋1|≥3，解集为∪……………………………………………………………………10分

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