丰城中学2016-2017学年上学期高四第二次月考

数学试卷（理科）

命题人： 审题人： 2016.10.05

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.已知集合
，
，则
中的元素个数为

A.
B.
C.
D.

2．若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α等于

A．－ B. C．± D．±

3．下列函数是奇函数的是

A．f(x)＝－|sin x| B．f(x)＝cos(－|x|) C．f(x)＝sin|x| D．f(x)＝x·sin|x|

4．如果
，那么

A.
B.
C.
D.

5．已知a＝tan，b＝cosπ，c＝sin，则a，b，c的大小关系是

A．a>c>b B．a>b>c C．b>c>a D．b>a>c

6.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝

A．－ B．－ C. D.

7．函数
的图象大致为

8.若函数
在区间
单调递增，则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

9. 某医药研究所研发出一种新药，成年人按规定的剂量服用后，据检测，每毫升血液中的含药量y(mg)与时间t(h)之间的关系如图所示．据进一步测定，当每毫升血液中的含药量不少于0.25 mg时，治疗疾病有效，则服药一次，治疗疾病有效的时间为

A．4 h B．4 h C．4 h D．5 h

10．已知函数y＝sin x＋cos x，y＝2 sin xcos x，则下列结论正确的是

A．两个函数的图像均关于点中心对称

B．两个函数的图像均关于直线x＝－成轴对称图形

C．两个函数在区间上都是单调递增函数

D．两个函数的最小正周期相同

11．函数y=f(x)(x
R)满足：对一切x
R，f(x)>0，
时，当x

时
，则

A．
B．
C．
D．

12.已知定义在
上的函数
,
为其导数,且
恒成立，则

A.
B.

C.
D.

填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上)

13．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为________．

14．函数f(x)＝x－1－的最小值为________．

15．将函数f(x)＝sin＋1的图像向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数g(x)的图像，则函数g(x)具有性质________．(填入所有正确性质的序号)

①最大值为，图像关于直线x＝对称；

②在上单调递增，且为偶函数；

③最小正周期为π；

16.已知函数
，若
，则实数a= ．

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．（本小题满分10分）已知集合
．

（Ⅰ）若
；

（Ⅱ）若
，求实数
．

18. （本小题满分12分）(1)已知
为锐角三角形,若角
终边上一点

P(
),求
的值;,

(2)已知
求
的值;

19．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）当x∈时，求函数f(x)的取值范围．

20. （本小题满分12分）某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为图所示的抛物线的一段．已知跳水板AB的长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m．训练时跳水曲线应在G点到达距水面的最大高度4 m，其中A，G两点的水平距离为h(h≥1)m.以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．

（Ⅰ）当h＝1时，求跳水曲线所在抛物线的方程；

（Ⅱ）当跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．

21．（本小题满分12分）设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
，【来源：全,品…中&高*考+网】

（Ⅰ）求
，
的值；

（Ⅱ）求
的单调区间.

22. （本小题满分12分）已知函数f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋c，其图象在y轴上的截距为－5，在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，又当x＝0，x＝2时取得极小值．

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）能否找到垂直于x轴的直线，使函数f(x)的图象关于此直线对称，并证明你的结论；

（Ⅲ）设关于x的方程f(x)＝λ2x2－5(
)的两个非零实根为x1、x2．问是否存在实数m，使得不等式m2＋tm＋2≤|x1－x2|对任意t∈[－3，3]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

丰城中学2016-2017学年上学期高四第二次月考

参考答案（理科）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1. B

2. A　[解析]： 因为α是第二象限角，所以cos α＝－＝－，于是tan α＝＝－.

3．D　[解析]： A，B，C中的函数都满足f(－x)＝f(x)，则函数为偶函数；对于D，因为f(－x)＝(－x)sin|－x|＝－xsin|x|＝－f(x)，所以f(x)＝x·sin|x|是奇函数．

4. D

5．D　[解析]： 因为a＝tan＝－tan＝－，b＝cosπ＝cos＝，c＝sin＝－sin＝－，所以b>a>c.

6.B [解析]：在角θ终边上任取一点P(a，2a)(a≠0)，则r2＝＝a2＋(2a)2＝5a2，

∴cos2θ＝＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－.

7.D [解析]：当
时，
，所以
，排除B、C；当
时，由于函数
比
随
的增长速度快，所以随
的增大，
的变化也逐渐增大，排除A，故选D．

8.D [解析]：
，由已知得
在
恒成立，故
，因为
，所以
，故
的取值范围是
．

9．C　[解析]： 由已知图像，得y＝当0≤t≤1时，令4t≥，得≤t≤1；当t>1时，令≥，得1

10．C　[解析]： 令f(x)＝sin x＋cos x＝sin，g(x)＝2 ·sin xcos x＝sin 2x.因为f＝0，g(－)＝－≠0，所以A，B都不正确．由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得f(x)的单调递增区间为(k∈Z)；由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，得g(x)的单调递增区间为 (k∈Z)，所以C正确．f(x)的最小正周期为2π，g(x)的最小正周期为π，所以D不正确．

11．[解析]：易知f(x)的周期为2，
选（D）.

12.C [解析]：因为
，所以
，则由
得
，即
．令
，则

，所以
在
上递减，所以
，即
，即
，故选C．

填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上)

13.4　[解析]： 由4x＝x3，解得x＝0或x＝2或x＝－2（舍去），根据定积分可知，直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内所围成的面积为（4x－x3）dx ＝（2x2－x4）|＝4.

14.0　[解析]： f′（x）＝，x>0.当01时，x2－1>0，ln x>0，所以f′（x）>0，故f（x）单调递增.x＝1是函数f（x）在定义域上唯一的极小值点，也是最小值点，所以f（x）min＝f（1）＝0.

15．①③　[解析]： 将函数f(x)＝sin＋1的图像向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数g(x)＝sin 2x的图像．易知函数g(x)具有以下性质： g(x)为奇函数，最大值为，最小正周期为π，图像关于直线x＝＋(k∈Z)对称，关于点(k∈Z)中心对称，在区间(k∈Z)上单调递增．综上可知应填①③.

16.[解析]：画图易知f(x)是偶函数，且当
时，单调递增，故

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．解：（Ⅰ）当
时

（Ⅱ）当
，从而
故
符合题意

当
时，由于
，故有

解得
,

综上所述实数a的取值范围是

注:不对集合A是否为空集进行讨论亦可,不必扣分.

18. 解：(1) 1;

(2)
于是

.

注:第(2)问若是直接观察得出结果,可给2分.

19．解：(1)f(x)＝sin＋，

所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.

由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.

(2)当x∈时，2x－∈，

则sin∈，所以f(x)∈.

于是当x∈[0，]时，函数f(x)的取值范围为.

20. 解：(1)当h＝1时，跳水曲线的最高点为(3，4)，设跳水曲线所在抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4.将A(2，3)的坐标代入，得3＝a(2－3)2＋4，解得a＝－1.所以当h＝1时，跳水曲线所在抛物线的方程为y＝－(x－3)2＋4.

(2)由题可知跳水曲线的最高点为(2＋h，4)，设跳水曲线的方程为y＝a[x－(2＋h)]2＋4.将A(2，3)的坐标代入y＝a[x－(2＋h)]2＋4，整理得ah2＝－1，

故y＝f(x)＝a[x－(2＋h)]2＋4＝－[x－(2＋h)]2＋4，由题意可得y＝f(x)在区间[5，6]内有一个零点，则又h≥1，解得1≤h≤.因此为了达到比较好的训练效果，h的取值范围是.

21． 解：（1）因为
，所以
.

依题设，
即
解得
；

（2）由（Ⅰ）知
.

由
即
知，
与
同号.

令
，则
.

所以，当
时，
，
在区间
上单调递减；

当
时，
，
在区间
上单调递增.

故
是
在区间
上的最小值，

从而
.

综上可知，
，
，故
的单调递增区间为
.

22. （Ⅰ）解：∵函数f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋c，在y轴上的截距为－5， ∴c＝－5．

∵函数f(x)在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，

∴x＝1时取得极大值，又当x＝0，x＝2时函数f(x)取得极小值．

∴x＝0，x＝1， x＝2为函数f(x)的三个极值点，

即f'(x)＝0的三个根为0，1，2，∴f '(x)＝4x3＋3ax2＋2bx＝4x(x－1)(x－2))＝4x3－12x2＋8x．

∴a＝－4，b＝4, ∴函数f(x)的解析式： f(x)＝x4－4x3＋4x2－5．

（Ⅱ）解：若函数f(x)存在垂直于x轴的对称轴,设对称轴方程为x＝t，则f(t +x)＝f(t－x)对x∈R恒成立．

即: (t +x)4－4(t +x)3＋4(t +x)2－5＝(t－x)4－4(t－x)3＋4(t－x)2－5．

化简得(t－1)x3+( t3－3 t2 +2t)x＝0对x∈R恒成立．

∴∴t＝1．

即函数f(x)存在垂直于x轴的对称轴x＝1．

（Ⅲ）解： 方程f(x)＝λ2x2－5，即x4－4x3＋4x2－5＝λ2x2－5，

即x4－4x3＋4x2－λ2x2=0，亦即x2（x2－4x＋4－λ2）＝0，∵x＝0是一个根，

∴方程x2－4x＋4－λ2＝0的两根为

|x1－x2|＝＝2|(|
0，

要使m2＋tm＋2≤|x1－x2|对任意t∈[－3，3]恒成立，只要m2＋tm＋2≤0对任意t∈[－3，3] 恒成立，

令g(t)＝tm +m2＋2 , 则g(t)是关于t的线性函数．

只要解得

∴不存在实数m，使得不等式m2＋tm＋2≤|x1－x2|对任意t∈[－3，3]恒成立．

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