吉安一中2017届高三上学期第一次段考

高三数学试卷（文科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.定义运算
，若
，则复数
对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3.已知
，“函数
有零点”是“函数
在
上为减函数”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4.已知数列
是等比数列，若
，则
等于（ ）

A．8 B．-8 C．16 D．-16

5.在
中，设
，且
，则
（ ）

A．1 B．
C．
D．2

6.按如下程序框图，若输出结果为
，则判断框内应补充的条件为（ ）

A．
B．
C．
D．

7.已知函数
的最小正周期为
，为了得到函数
的图象，只要将
的图象（ ）

A．向左平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度 D．向右平移
个单位长度

8.甲、乙两名篮球运动员近几场比赛得分统计成茎叶图如图，甲，乙两人的平均数与中位数分别相等，则
为（ ）

A．
B．
C．
D．

9.已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点
，点
是
的一个公共点，
是以一个以
为底的等腰三角形，
的离心率为
，则
的离心率是（ ）

A．2 B．3 C．
D．

10.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的四个侧面中面积最大的一个侧面的面积为（ ）

A．
B．
C．8 D．6

11.已知非零向量
的最小值为
，则
与
的夹角为（ ）

A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°

12.在
中，角
所对边的长为
，设
为
边上的高，且
，则
的最大值是（ ）

A．2 B．
C．
D．4

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.设
满足约束条件：
，则
的最小值为 ____________．

14.已知函数
（其中
为自然对数的底数），则函数
的零点等于____________．

15.在三棱锥
中，
底面
，体积为
，则三棱锥的外接球的体积等于_____________．　

16.若函数
存在与直线
平行的切线，则实数
的取值范围是_____________．　

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

已知等比数列
的公比
，前
项和为
，且
成等差数列．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前
项和
．

18.（本小题满分12分）

某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，
进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如图）．

（1）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；

（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在
和
的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在
的概率．

19.（本小题满分12分）

如图，已知长方形
中，
为
的中点，将
沿
折起，使得平面
平面
．

（1）求证：
；

（2）若点
是线段
上的一动点，问点
在何位置时，三棱锥
的体积与四棱锥
的体积之比为1：3？

20.（本小题满分12分）

已知动圆
过定点
，且与直线
相切，椭圆
的对称轴为坐标轴，
点为坐标原点，
是其一个焦点，又点
在椭圆
上．　

（1）求动圆圆心
的轨迹
的标准方程和椭圆
的标准方程；

（2）若过
的动直线
交椭圆
于
点，交轨迹
于
两点，设
为
的面积，
为
的面积，令
的面积，令
，试求
的取值范围.

21.（本小题满分12分）

设函数
．

（1）若
，求函数
的单调区间；

（2）若对任意
都有
恒成立，求实数
的取值范围．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，过圆
外一点
作一条直线与圆
交
两点，且
，作直线
与圆
相切于点
，连接
交
与点
，已知圆
的半径为2，
．

（1）求
的长；

（2）求证：
．

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标中，以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
的极坐标方程为
，过点
的直线
的参数方程为
（
为参数），直线
与曲线
相交于
两点．

（1）写出曲线
的直角坐标方程和直线
的普通方程；

（2）若
，求
的值．

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
．

（1）解不等式
；

（2）对任意
，都有
成立，求实数
的取值范围．

参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

B

D

C

A

C

D

B

B

D

B



二、填空题

13. -3 14.
15.
16.

三、解答题

17.（1）∵
，∴
，

因为
成等差数列，所以
，求得
①，

又由
得
②

由①②可得
，解得
（舍去），∴
．．．．．．．．．．．．．6分

（2）∵
，

．．．．．．．．．．．．．．①

．．．．．．．．．②．．．．．．．．．．．．．8分

在
的学生为
，则从这两组学生中随机抽取2人，所有可能的结果如下：

共10种，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　9分

而事件
所包含的结果有
共7种，因此事件
发生的概率为
．．．．．．．．．．．．．12分

19.（1）证明：∵长方形
中，
为
的中点，∴
，∴
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

∵平面
平面
，平面
平面
平面
，

∴
平面
，∵
平面
，∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）
为
的中点，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

当
为
的中点时，因为
，

所以
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

20.解：（1）依题意，由抛物线的定义易得动点
的轨迹
的标准方程为：
．．．．．．．．．．　2分

依题意可设椭圆
的标准方程为
，

显然有
，∴
，∴椭圆
的标准方程为
．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）显然直线
的斜率存在，不妨设直线
的直线方程为：
①

联立椭圆
的标准方程
，有
，

设
则有
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

再将①式联立抛物线方程
，有
，设
得
，∴
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

∴
，

∴当
时，
，又
，∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

21.解：（1）
，令
，则
，

则当
时，
单调递减，当
时，
单调递增．

所以有
，所以
在
上递增．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）当
时，
，令
，则
，则
单调递增，
，

当
，即
时，
在
上递增，