吉安一中2017届高三上学期第一次段考

高三数学试卷（理科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.已知
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3.执行如图所示的程序框图，若输入的
，则输出的
属于（ ）

A．
B．
C．
D．

4.给出下列三个命题：

①“若
，则
”为假命题；

②若
为假命题，则
均为假命题；

③命题
，则
，其中正确的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

5.函数
的图象大致为（ ）

A．
B．
C．
D．

6.已知变量
满足条件
，若目标函数
仅在点
处取得最大值，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

7.已知圆
，点
若
上存在两点
满足
，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

8.已知函数
，集合
，现在从
中任取两个不同的元素
，则
的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

9.在正三棱锥
中，
是
的中点，且
，底面边长
，则正三棱锥
的外接球的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

10.已知函数
与
满足：
，且
在区间
上为减函数，令
，则下列不等式正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

11.已知数列
满足
，则使不等式
成立的所有正整数
的集合为（ ）

A．
B．

C．
D．

12.在等腰梯形
中，
，且
，其中
，以
为焦点且过点
的双曲线的离心率为
，以
为焦点且过点
的椭圆的离心率为
，若对任意
，不等式
恒成立，则
的最大值是（ ）

A．
B．
C．2 D．

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知
，复数
的实部为
，虚部为1，则
的取值范围是____________．

14.如图，已知双曲线
的右顶点为
，
为坐标原点，以
为圆心的圆与双曲线
的某渐近线交于两点
，若
，且
，则双曲线的离心率为____________．

15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为_____________．　

16.对大于1的自然数
的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：
仿此，若
的“分裂”数中有一个是73，则
的值为_____________．　

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

在
中，角
的对边分别为
，
，且
．　

（1）求角
的大小；

（2）若等差数列
的公差不为零，且
，且
成等比数列，求
的前
项和
．

18.（本小题满分12分）

四棱锥
中，点
在平面
内的射影
在棱
上，
，底面
是梯形，
，且
．

（1）求证：平面
平面
；

（2）若直线
与
所成角为60°，求二面角
的余弦值．

19.（本小题满分12分）

某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目，
两队各有六名选手参赛，将他们首轮的比赛成绩作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示，为了增加节目的趣味性，主持人故意将
队第六位选手的成绩没有给出，并且告知大家
队的平均分比
队的平均分多4分，同时规定如果某位选手的成绩不少于21分，则获得“晋级”．　

（1）根据茎叶图中的数据，求出
队第六位选手的成绩；

（2）主持人从
队所有选手成绩中随机抽取2个，求至少有一个为“晋级”的概率；

（3）主持人从
两队所有选手成绩中分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为
，求
的分布列及数学期望．

20.（本小题满分12分）

如图，已知椭圆
经过点
，且离心率等于
，点
分别为椭圆
的左、右顶点，
是椭圆
上不同于顶点的两点，且
的面积等于
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）过点
作
交椭圆
于点
，求证：
．

21.（本小题满分12分）

设函数
，已知
在
处的切线
相同．

（1）求
的值及切线
的方程；

（2）设函数
，若存在实数
使得关于
的不等式
对
上的任意实数
恒成立，求
的最小值及对应的
的解析式．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，已知
为
的
边上一点，
经过点
，交
于另一点
，
经过点
，交
于另一点
与
交于点
．

（1）求证：
；（2）若
的半径为5，圆心
到直线
的距离为3，
切
于点
，求线段
的长．

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

设点
的极坐标为
，直线
经过
点，且倾斜角为
．

（1）证明：
的极坐标方程是
；

（2）若
点到
的最短距离
，求
与
间的关系．

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知适合不等式
的
的最大值为3．

（1）求
的值；

（2）求
的范围．

参考答案

一、选择题

DDABBD CABBAB

二、填空题

13.
14.
15.
16. 9

三、解答题

17.（1）由
得
，

所以
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

∴
，由
，得
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）设数列
的公差为
，

由（1）得
，且
，

∴
，

∵
平面
，

∴
平面
，

又
平面
，∴平面
平面
．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）

以
为原点，如图建立空间直角坐标系
，∵
平面
，

∴
轴
，

则
，设
，

∴
，∴
，

∵
，∴
，

∵
与
所成角为60°，

∴
，

∴
，∴
，

∵
，∴
，∵
，∴
，∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

∴
，设平面
的法向量为
，

由
，得平面
的一个法向量为
．．．．．．．．．．．．．．．9分

设平面
的法向量为
，

由
，得平面
的一个法向量为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

∴
，

∵二面角
的平面角为钝角，

∴二面角
的余弦值为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

19.（1）
队选手的平均分为
，

设
队第6位选手的成绩为
，

则
，得
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

（2）