玉山一中2016—2017学年第一学期高三第二次月考

文科数学

时间：120分钟 满分：150分 命题人：肖贞燕 审题人：占小平

一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集
={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，则
=（　　）

A．{2，4} B．{1，3，5} C．{1，2，3，4，5} D．

2．已知命题p：
∈（0，
），
，则（　　）

A．
：
∈（0，
），
B．
：
∈（0，
），

C．
：
∈
，
D．
：
∈
，

3.与直线
的平行的抛物线
的切线方程是（　　）

A．
Ｂ．
C.
D．

4．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（　　）

A．
B．

C．

D．

5．设
是公差为正数的等差数列，若
则
（　　）

A．105 B．120 C．90 D．75

6. 已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－
，3)上是减函数，则a的取值范围是(　　)

A.
B.  C. D.

7．观察

，若定义在R上的函数
满足

，
的导函数，则
=（　　）

A．
B．
C．
D．

8．已知函数
若实数
，
满足
（　　）

A．－2 B．－1 C．0 D．2

9.对于函数
“
的图象关于
轴对称”是“
是奇函数”的(　　)

A．必要而不充分条件 B． 充分而不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

10．函数
的图象可能是（　　）

A．
B．

C．
D．

11．已知
是自然对数的底数，函数
的零点为
，函数
的零点为
，则下列不等式成立的是（　　）

A．
B．

C．
D．

12．设函数
在R上存在导数
，对任意的
，有
，且
时，

的取值范围为（　　）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）.

13．已知函数
_________________.

14．设
若
是
的充分不必充要条件，则实数
的取值范围是　　．

15．已知数列
的首项为3，
为等差数列，且

_________

16．中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：

①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个；

②函数
可以是某个圆的“优美函数”；

③正弦函数
可以同时是无数个圆的“优美函数”；

④函数
是“优美函数”的充要条件为函数
的图象是中心对称图形．

其中正确的命题是　　（写出所有正确命题的序号）

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．已知，命题
：“函数
的值域为
”，命题
：“
，
”

若命题“
”是真命题，求实数
的取值范围

18．已知函数
．

（1）判断
的奇偶性，并说明理由；

（2）若
，求使
成立的
的集合．

19．已知等差数列
的前
项和为
，且满足
．

（1）求
的值；

（2）若
成等比数列，求正整数
的值．

20．如图，在四棱锥

（1）证明：平面

( 2 )求三棱锥
的体积。

21．设椭圆
：
，定义椭圆
的“相关圆”方程为
.若抛物线

的焦点与椭圆
的一个焦点重合，且椭圆
短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形

（1）求椭圆
的方程和“相关圆”
的方程；

（2）过“相关圆”
上任意一点
的直线
：
与椭圆交于
，
两点，
为坐标原点，若
，证明原点
到直线
的距离为定值，并求
的取值范围．

22．已知函数

（1）求函数
的单调区间；

（2）若函数
的图象在点
处的切线的倾斜角为45°，对于任意的
，

函数
在区间
上总不是单调函数，求
的取值范围；

（3）求证
：

玉山一中2016—2017学年第一学期高三第二次月考

文科数学答案

一选择题

ABCDABCDABCC

二 填空题

（﹣
，﹣4]∪[
，+
） 21 ①③

三．解答题

17.解：∵函数y=lg（x2+2ax+2﹣a）的值域为R，

∴U=x2+2ax+2﹣a能取遍所有正数，

∴△
0，

∴a2+a﹣2
0．

解得a
﹣2或a
1，

对于命题q：∵
∈[0，1]，x2+2x+a
0，

∴a
﹣x2﹣2x对x∈[0，1]恒成立，

∵x∈[0，1]时，﹣x2﹣2x
0，

∴a
0．

∵命题“p∨q”是真命题，

∴实数a的取值范围是a
﹣2或a
0

18.解：（1）要使函数有意义，则
，

解得﹣1＜x＜1，

即函数f（x）的定义域为（﹣1，1）；

∵f（﹣x）=loga（﹣x+1）﹣loga（1+x）=﹣[loga（x+1）﹣loga（1﹣x）]=﹣f（x），

∴f（x）是奇函数．

（2）若f（
）=2，

∴loga（1+
）﹣loga（1﹣
）=loga4=2，

解得：a=2，

∴f（x）=log2（1+x）﹣log2（1﹣x），

若f（x）＞0，则log2（x+1）＞log2（1﹣x），

∴x+1＞1﹣x＞0，

解得0＜x＜1，

故不等式的解集为（0，1）．

19. 解：（1）∵在等差数列{an}，有a3+a5=a4+8．

∴2a4=a4+8，

∴a4=8，

∴S7=
=7a4=56．

（2）由（1）知a4=8，a1=2，

∴2+3d=8，解得公差d=2．

∴an=2+2（n﹣1）=2n，

∴Sn=
=n2+n．

∵a3，ak+1，Sk成等比数列，

∴
，即（2k+2）2=6（k2+k），

整理得k2﹣k﹣2=0，k∈N*．

解得k=﹣1（舍去）或k=2．

故k=2．

20.证明：

（1）∵PA⊥CD，∠PAB=90°，AB与CD相交，

∴PA⊥平面ABCD，

∵BD
平面ABCD，

∴PA⊥BD，

由AE=
AD则ED=
AD

则ED=BC=CD，又∠ADC=90°，可得∠BAD=∠BDA=45°，

∴∠ABD=90°，∴BD⊥AB，∵PA∩AB=A，

∴BD⊥平面PAB，∵BD
平面PBD，

∴平面PAB⊥平面PBD．

（2）

21.解：(1）因为若抛物线y2=4x的焦点为（1，0）与椭圆C的一个焦点重合，所以c=1

又因为椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以b=c=1

故椭圆C的方程为
，“相关圆”E的方程为

证明：(2）设A（x1，y1），B（x2，y2）

联立方程组
得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0

△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=8（2k2﹣m2+1）＞0，即2k2﹣m2+1＞0

，

由条件OA⊥OB得3m2﹣2k2﹣2=0

所以原点O到直线l的距离是

由3m2﹣2k2﹣2=0得
为定值

此时要满足△＞0，即2k2﹣m2+1＞0，又
，

即
，所以
，即
或

22.解：（1）

当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+
）；

当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+
），减区间为（0，1]；

当a=0时，f（x）无单调区间

（2）
得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3

∴
，

∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2

∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2

∴

由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，

所以有：
，∴

（3）令a=﹣1此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，

由（1）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+
）上单调递增，

∴当x∈（1，+
）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，

∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+
）成立，

∵n
2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，

∴

∴

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