贵州省永乐中学2012-2013学年度下学期3月月考卷高一数学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．方程
表示圆，则
的取值范围是( )

A．
B．

C．
D．

【答案】D

2．若直线
有公共点，则( )

A．
B．

C．
D．

【答案】D

3．直线
的斜率为
，
，直线
过点
且与
轴交于点
，则
点坐标为( )

A．
B．
C．
D．

【答案】D

4．如果
，
，那么直线
不经过的象限是( )

A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

5．直线
到直线
的角为
，则
( )

A．－3 B． －2 C． 2 D． 3

【答案】A

6．直线
（
）的倾斜角
范围是( )

A．
B．

C．
D．

【答案】C

7．若方程
的任意一组解
都满足不等式
，则
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

【答案】B

8．设A为圆
上的动点，PA是圆的切线，且
则P点的轨迹方程为( )

A．
B．

C．
D．

【答案】B

9．已知两点A (1,2）, B (3,1） 到直线L的距离分别是
，则满足条件的直线L共有( )条。

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

10．已知圆的方程为：
.直线方程为L：
，则直线L与圆的位置关系是( )

A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都有可能

【答案】A

11．圆
的圆心和半径分别( )

A．
B．
C．
D．

【答案】A

12．设A为圆
上动点，B（2，0），O为原点，那么
的最大值为( )

A．90° B．60° C．45° D．30°

【答案】C

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)

二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)

13．若实数
成等差数列，点
在动直线
上的射影为
，点
，则线段
长度的最大值是 ．

【答案】

14．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px（p>0）的准线相切，，则此抛物线的焦点坐标是____________。

【答案】（1，0）

15．直线
和直线
具有相同的法向量.则
____________

【答案】

16．若两圆x2+y2－10x-10y=0与x2+y2－6x+2y-40=0相交于两点，则它们的公共弦所在直线的方程是 。

【答案】

三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆相交于不同的两点A、B.

(1)求k的取值范围；

(2)是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

【答案】(1)圆(x－6)2＋y2＝4的圆心Q(6,0)，半径r＝2，设过P点的直线方程为y＝kx＋2，

根据题意得<2，∴4k2＋3k<0，∴－

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，

将y＝kx＋2代入x2＋y2－12x＋32＝0中消去y得(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0，

∵x1，x2是此方程两根，∴则x1＋x2＝－，

又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4＝－＋4，

P(0,2)，Q(6,0)，∴＝(6，－2)，

＋与共线等价于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)，

∴＝－6k·＋24，∴k＝－，

由(1)知k∈(－，0)，故没有符合题意的常数k.

18．求满足下列条件的直线
方程（13分）

(1）直线
过原点且与直线
的夹角为
；

(2）直线
过直线
与
的交点，且点
到
的距离为
.

【答案】（1）直线
的倾斜角为
，由条件，直线
的倾斜角应为
或
，所以直线
的斜率
，又直线
过原点，所以直线
的方程为：

(2）由条件设直线
为
，整理得

，点
到
的距离为
，则

，解得
，所以直线
为

19．函数
关于直线
对称的函数为
，又函数
的导函数为
，记

(1）设曲线
在点
处的切线为
，若
与圆
相切，求
的值；

(2）求函数
的单调区间；

(3）求函数
在[0，1]上的最大值；

【答案】（I）由题意得
?

??????
点的直线的斜率为a－1，

??????
点的直线方程为

?????? 又已知圆心为（－1，0），半径为1，由题意得
?

?? (II）

?

?????? 令
?

?????? 所以，
?

?? (III）①当

??????
?

?????? ②当
，

??????
?

?????? ③当

?????? 综上，当
的最大值为ln2；

?????? 当
的最大值为
；

??????
的最大值为a. ?

20．已知三点
，
，
。

(1）求过
三点的圆的方程，并指出此圆的圆心与半径；

(2）若点
在（1）所求的圆上，求
的最值。

【答案】（1）设所求的圆的方程为
，依题意有

　
,

解得：
，
所求圆的方程为
，

将上述方程化为标准方程为：

圆的圆心坐标为
，半径为
。

(2）将标准方程写成参数方程为
，

，

，
。

21．在平面直角坐标系
中，已知圆心在第二象限、半径为
的圆
与直线
相切于坐标原点
．椭圆
与圆
的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为
．

(1）求圆
的方程；

(2）试探究圆
上是否存在异于原点的点
，使
到椭圆右焦点
的距离等于线段
的长．若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由

【答案】（1）设圆C的圆心为(m, n)(m<0,n>0)，依题意有
解得

所求的圆的方程为

(2)由已知可得
∴

∴椭圆的方程为
,右焦点为F(4, 0)

从而以F为圆心，FO为半径的圆的方程为(x – 4) 2 + y 2 = 16

又CF=2
<4 + 2
，所以圆F与圆C交于两个不同的点；

所以圆C上存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长，

易知点Q与原点关于CF对称，所以O关于CF：x + 3y – 4=0的对称点为Q(x0, y0)

则
，所以Q点的坐标为
.

22．已知圆C的圆心为C(m，0),m<3，半径为
，圆C与离心率
的椭圆
的其中一个公共点为A(3，l) ,F1 ,F2分别是椭圆的左、右焦点.

(I) 求圆C的标准方程；

(II)若点P的坐标为(4，4)，试探究直线PF1与圆C能否相切？若能，设直线PF1与椭圆E相交于A，B两点，求ΔABF2的面积;若不能,请说明理由.

【答案】（Ⅰ）由已知可设圆C的方程为
，

将点A的坐标代入圆C的方程，得
，

即
，解得
.

∵
， ∴
.

∴圆C的方程为
.

(Ⅱ）直线
能与圆C相切，

依题意设直线
的方程为
，即
，

若直线
与圆C相切，则
.

∴
，解得
.

当
时，直线
与x轴的交点横坐标为
，不合题意，舍去.

当
时，直线
与x轴的交点横坐标为
，

∴
.

∴由椭圆的定义得：

.

∴
，即
， ∴
，

故直线
能与圆
相切.

直线
的方程为
，椭圆E的方程为
.

把直线方程带入椭圆方程并化简得，
.

故
.