江苏无锡一中

2012—2013学年度下学期期中考试

高一数学试题

命题人：薛菁 审核人：蒋敏利

一．填空题（每小题5分）

1. 函数
的定义域是___________.

2. 数列
的一个通项公式为
____________.

3. 已知直线方程为
，则直线的倾斜角为___________.

4. 若A为不等式组
表示的平面区域，则当a从 -2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为 .

5. 已知数列
是等差数列，其前
项和为
，若
，又
，则
等于_______.

6. 若等比数列
满足
，则公比为____________.

7. 在
中，
，
，面积
，则
=________________.

8. 一家饮料厂生产甲乙两种果汁饮料，甲种饮料每3份苹果汁加1份橙汁，乙种饮料每2份苹果汁加2份橙汁，该厂每天能获得的原料是苹果汁200升，橙汁100升，又厂方的利润是每生产1升甲种饮料得3元，生产1升乙种饮料得4元，则该厂能获得的最大利润是___________元.

9.已知方程
的四个根组成一个首项为1的等比数列，则
=________.

10. 隔河可以看到两个目标A、B，但不能到达，在岸边选取相距
km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°。A、B、C、D在同一个平面内，则两目标A、B间的距离为___________km.

11.已知数列
满足
则
的最小值为__________.

12．已知三个不等式①
②
③
要使同时满足①和②的所有
的值都满足③，则实数
的取值范围是______________

13．三位同学合作学习，对问题“已知不等式
对于
恒成立，求
的取值范围”提出了各自的解题思路。甲说：“可视
为变量，
为常量来分析”；乙说：“不等式两边同除以
，再作分析”；丙说：“把字母
单独放在一边，再作分析”。

参考上述三个同学的解题思路，或自己独立探索，可求出实数
的取值范围是________.

14. 已知：
是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意a、b
，满足：
，且
，则数列{an}的通项公式an=_____.

二．解答题

15. （本题13分）求经过直线
和
的交点，

（1）且平行于直线
的直线
的方程；

（2）且垂直于直线
的直线
的方程.

16. （本题15分）已知数列
为等差数列，
为等比数列，并且满足

，以及

（1）求
的值；

（2）设
，求数列
的子数列
的前
项和
.

（3）在（2）的条件下，若
，求数列
的前n项和

17 . （本题15分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2-a2+bc=0.

（1）求角A的大小；

（2）若a=
，求bc的最大值；

（3）求
的值.

18. （本题15分）如图所示，将一矩形花坛
扩建成一个更大的矩形花园
，要求B在
上，D在
上，且对角线
过C点，已知AB=3米，AD=2米，

（1）要使矩形
的面积大于32平方米，则
的长应在什么范围内?

(2)当
的长度是多少时，矩形
的面积最小?并求最小面积；

(3)若
的长度不少于6米，则当
的长度是多少时，矩形
的面积最小？并求出最小面积。

19. （本题16分）已知点（1，
）是函数
且
）的图象上一点，等比数列
的前
项和为
，数列

的首项为
，且前
项和
满足
－
=
+
（
）.

（1）求数列
和
的通项公式；

（2）若数列{
前
项和为
，问：
>
的最小正整数
是多少?

20. （本题16分）已知函数

（1）若存在
，使得
成立，求实数
的取值范围；

（2）解关于
的不等式
；

（3）若
，求
的最大值.

参考答案

一、填空题

1.
2.
3.
4.
5. 5 6. 4 7.

8. 1000 9. -14 10.
11.
12.
13.
14.

二、解答题

15. （1）
（2）

求出交点
3分；两个斜率各2分，两条直线方程各3分。

16. 每问5分

（1）
求出
得3分

（2）
得分2+2+1

（3）
化简通项的1分，错位相减过程2分，结果2分

17.

（1）∵cosA=
=
=-
, 3分

又∵
4分

∴A=120°. 5分

（2）由a=
,得b2+c2=3-bc, 6分

又∵b2+c2≥2bc（当且仅当c=b时取等号）， 8分

∴3-bc≥2bc即当且仅当c=b=1时， bc取得最大值为1. 10分

（3）由正弦定理得：
2R,

∴
11分

=

=
13分

=

=
. 15分

18.

解：（1）设
米，
， 1 分

则
∵
∴

∴
2分

∴
∴
∴
4分

∴
或
5分

(2)

8分

9分

此时
10分

（3）∵

令

，

∵
在
上递增 12分

∴
此时
14分

答：（1）
或
（2）当
的长度是4米时，矩形
的面积最小，最小面积为24平方米；（3）当
的长度是6米时，矩形
的面积最小，最小面积为27平方米。 15分

19.（1）
,
1分

,

,
.

又数列
成等比数列，
，所以
； 4分

又公比
，所以

； 5分

又
,
,
；

数列
构成一个首相为1公差为1的等差数列， 7分

，
8分

当
9分

当
，
；
(
)； 10分

（2）

12分

； 14分

由
得
，满足
的最小正整数为77. 16分

20. （1）令
，即
成立 1分

的最小值为0，当
时取得 4分

5分

（2）
，

令

6分

①


7分

②


8分

③

ⅰ


9分

ⅱ


10分

综上，略。 11分

（3）令

则

13分

15分

，
的最小值为
16分