大桥中学2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题

一、填空题

1．在平行四边形
中, 点
是
的中点,
与
相交于点
,

若
, 则
的值为 ；

2．电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数
的图象如图所示，则当
时，电流强度是 。

3．如果一弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是________.

4．某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组中任意选出一名组长，其中女生当选为组长的概率是___________。

5．若函数
，则
的值是________

6．若数列
是等差数列，对于
，则数列
也是等差数列。类比上述性质，若数列
是各项都为正数的等比数列，对于
，则
= 时，数列
也是等比数列。

7．已知空间四边形
，点
分别为
的中点，且
，用
，
，
表示
，则
=_______________。

8．中心在原点，准线方程为
，离心率等于
的椭圆方程是 .

9．函数
是定义在
上的增函数，其中
且
，已知
无零点，设函数
，则对于
有以下四个说法：

①定义域是
；②是偶函数；③最小值是0；④在定义域内单调递增.

其中正确的有_____________（填入你认为正确的所有序号）

10．若
=(2,1)，
=(-3,-4)，则向量
在向量
方向上的正射影的坐标___________.

11．若对于任意
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是 ．

12．关于
的方程
（其中
是虚数单位），则方程的解
．

13．在下面的程序框图中，输出的
是
的函数，记为
，则
．

14．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则


的值为

二、解答题

15．如图，三棱锥P—ABC中，平面PAC⊥平面BAC，AP=AB=AC=2，∠BAC=∠PAC=120°。

（I）求棱PB的长；

（II）求二面角P—AB—C的大小。

16．

（理）如图，P—ABCD是正四棱锥，
是正方体，其中

（1）求证：
；

（2）求平面PAD与平面
所成的锐二面角
的余弦值；

17．（1）（本小题满分5分）选修4-2：矩阵与变换。已知矩阵
,A的一个特征值
，属于λ的特征向量是
,求矩阵A与其逆矩阵.

(2) （本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线
的极坐标方程是
．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在曲线
上求一点，使它到直线
的距离最小，并求出该点坐标和最小距离．

18．
A是锐角,求
的值；

19．已知向量
，
，函数

（Ⅰ）求
的单调增区间；

（Ⅱ）若
时，
的最大值为4，求
的值.

20．已知抛物线
(
)上一点
到其准线的距离为
.

（Ⅰ）求
与
的值；

（Ⅱ）设抛物线
上动点
的横坐标为
（
）,过点
的直线交
于另一点
，交
轴于
点（直线
的斜率记作
）.过点
作
的垂线交
于另一点
.若
恰好是
的切线，问
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

参考答案

（II）方法1：如图1，作OD⊥AB，垂足为D，连结PD，由三垂线定理得，PD⊥AB。

则∠PDO为二面角P—AB—C的平面角的补角。

故二面角P—AB—C的大小为

16．解：以
为
轴，
为
轴，
为
轴建立空间直角坐标系

（1）证明:设E是BD的中点，
P—ABCD是正四棱锥，

∴

17．解:（1） ①由
，得
，解得
，

A-1 =

(2) 直线
的直角坐标方程是

设所求的点为
，则P到直线
的距离

18．由条件，得

∵A在锐角，
，

则
，当
时，
，则
.

联立方程
，消去
，得
，

解得
或
，
，

而
，
直线
斜率为
，

，联立方程

消去
，得
，

解得：
，或
，

，