2011—2012学年（下）期末考试

高 2014 级 数学(理) 试题

考试说明: 1.考试时间:120分钟

2.试题总分：150分

3.本试卷一张共4页

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，每小题所给的四个选项中只有一个是正确的，将正确答案的序号填涂在答题卡的相应位置上）

某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2：3：5，用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，样本中A型产品有16件，则样本容量n为（ ）

A. 100 B. 80 C. 60 D. 20

2．在一次师生联欢会上，到会的学生比教师多12人，从这些师生中随机选一人表演节目，若选到教师的概率是
，则参加联欢会的学生的人数是（ ）

A. 54 B. 60 C. 66 D. 120

3.设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最小值是（ ）

A . -8 B. -2 C.
D. 4

4.在
中，角
所对应的边分别是
，若
则三角形一定是（ ）

A.等腰直角三角形 B.直角三角形

C. 等腰三角形 D.等边三角形

5.数列
中，对于任意的
有
，若
，则
（ ）

A .64 B. 128 C. 504 D.1024

6.已知
成等差数列，
成等比数列，则
的最小值是（ ）

A． 3 B. 4 C. 5 D .6

7.程序框图如图所示，如果输入三个实数
， 要求输出三个实数中的最大的数，那么在空白处的判断框中，应该填入下面的选项中的是（ ）

A．
B.

C.
D.

8.在数列
中，
,
，
，
（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 有5个正数
，已知这组数的平均数是10，方差是2，则
的值是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

10.对一切实数
，当实数
变化时，
的最小值是（）

A. 2 B.3 C.4 D.5

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应的位置上）

11. 在
中，角
所对应的边分别是
，若
，则角B的值是 .

12.若向量
的夹角是
，
，则
的值是 .

13.四张卡片上分别写有数字1，2，3，4.从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则取出的两张卡片上的数字之和是奇数的概率是 .

14.执行如图所示的程序框图，输出的S 的值是 .

15. 在
中，角
所对应的边 分别是
，若
成等差数列，则角
的取值范围是

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答题写出问题说明，证明过程或解答步骤）

16.(本小题13分，第（1）问7分，第（2）问6分)设有关于x 的一元二次方程

(1)若
是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，
是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率；

(2)若
是从区间
中任取的一个实数，
是从区间
中任取的一个实数，求上述方程有实数根的概率.

17．（本小题13分，第（1）问7分，第（2）问3分，第(3)问3分）

某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)、[50,60)、…、[90,100)后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息,回答下列问题：

(1)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图；

（2）分数
分为及格，求及格的学生人数；

(3)统计方法中,同一组数据常用该组区间 的中点值作为代表, 据此估计本次考试数学成绩的平均分.

18．（本小题13分，第（1）问7分，第（2） 问 6分）

已知数列
是公比大于1的等比数列，满 足
，
；数列
满足

且
，
成等比数列.

(1)求
及
的通项公式；

(2)求数列
的前n项和

19. （本小题12分，每问6分）在
中，角
所对应的边分别是
，且
.

(1)确定角A的大小；

(2)若
的边
，求
面积的最大值.

20.（本小题12分）二次函数
，若不等式
的解集为
，试用
表示不等式
的解集。

21. （本小题12分，每问6分）已知数列
的前n项和

（1）求数列
的通项公式

（2）求证：对任意的自然数
.

2011—2012学年（下）期末考试

高 2014 级 数学(理) 参考答案

故所求事件的概率为

（2）若
是从区间[0，4]中任取的一个实数，b是从区间[0，3]中任取的一个实数，则
的面积12，其中
中满足
的区域面积为
，故所求事件的概率为

答：略

17、．（本小题13分，第（1）问7分，第（2）问3分，第(3)问3分）

解：(1)设分数在[70,80)内的频率为x,根据频率分布直方图,有:

(0.01+ 0.015×2 + 0.025 + 0.005)×10 + x = 1,

可得x=0.3,∴频率分布直方图如右图所示：

(2)(0.015+0.030+0.025+0.005)×10×60=45(人)

(3)由已知，各个分数段的人数分别为：
6人，

故

19、（本小题12分，每问6分）

故
面积的最大值为

20、（本小题12分）

解：不等式
的解集为

即
解集为（1,3）

21、（本小题12分，每问6分）

解：（1）由
相减得

则
是公比为-2的等比数列，又

故

(2)

若
且
为奇数时

从而
且
是偶数时

又
且
奇数时，

故对任意自然数
时总有