曲塘中学2013-2014学年第一学期高一年级期中考试201311

数 学 试 卷

说明: 1．本试卷满分160分，考试时间120分钟；

2．在答题纸上填涂班级、姓名、考号；

3．请将所有答案按照题号填写在答题纸相应的答题处，框外不要答题，否则不得分．

一 填空题（共14小题，每小题5分计70分.请把答案写在答题卡相应序号的横线上）

1.已知全集
，A
，B
，那么B∩(CUA) = ▲ .

2.集合
的子集有且仅有两个，则实数a = ▲ .

3.指数函数
与对数函数
的图象关于直线 ▲ 对称.

4.函数
的单调增区间为 ▲ .

5.设a = 0.60.2，b = log0.23，
，则a、b、c从小到大排列后位于中间位置的为 ▲ .

6.函数
为 ▲ 函数(填“奇”或“偶”)．

7.计算可得
▲ .

8.若某国计划国内生产总值从2000年至2013年翻一番，则该国国内生产总值平均每年的

增长率是 ▲ ．

9.函数
的定义域为A，值域为B，则A∩B= ▲ .

10.已知函数
，则对任意实数,，
都有以下四条性质中的 ▲

(填入所有对应性质的序号).

　 ①
　　　　　　②

　 ③
　　　　　　　④

11.定义在上的奇函数
在
上的图象如右图所示，

则不等式
的解集是 .

12.关于的不等式ax
+ bx + c＞0 的解集为
，对于实系数
，有如下结论：

①
； ②
； ③
； ④
； ⑤
.

其中正确的结论的序号是 ▲ .

13.若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如

函数
，
与函数
，
即为“同族函数”．下面函数中，

解析式能够被用来构造“同族函数”的有 ▲ (填入函数对应的序号)

①
； ②
； ③
； ④
； ⑤
.

14.设函数
，若互不相同的实数
满足
，且
，则
的取值范围是 ▲ .

二 解答题（本大题共6小题，共90分，请解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤，并将正确答案填写在答题纸的对应位置）

15.（本小题满分14分）

设全集
，集合
．

（1）求集合
；

（2）若
CUB，求实数的取值范围．

16.（本小题满分14分）

已知函数
＝

（1）判断函数
的奇偶性，并说明理由；

（2）利用函数单调性定义证明函数
在区间
上为增函数.

17.（本小题满分15分）

已知函数
.

（1）把函数
写成分段函数的形式；

（2）在给定的坐标系内作函数
的图象，并根据图象写出函数
的单调区间；

（3）利用图象回答：当实数
为何值时，方程
有一解？有两解？有三解？

.

18.（本小题满分15分）

已知：
且
.

（1）求的取值范围；

（2）将函数
的解析式整理为关于
的式子；

（3）在前两问的情形下求函数
的最大值和最小值.

19.（本小题满分16分）

某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该

商场内消费满一定金额后，按如下方案相应获得第二次优惠：

消费金额（元）的范围

[200,400）

[400,500）

[500,700）

[700,900）

…



第二次优惠金额（元）

30

60

100

150

…



根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如：购买标价为600元的商品，则消费金额为480元，480∈[400,500),所以获得第二次优惠金额为60元，获得的优惠总额为：600×0.2+60=180（元）.

设购买商品的优惠率=
.

试问：

（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？

（2）设顾客购买标价为x元（x∈[250,1000]) 的商品获得的优惠总额为y元,

试建立y关于x的函数关系式；

（3）对于标价在[625，800）（元）内的商品，顾客购买商品的标价的取值范围

为多少时，可得到不小于
的优惠率？（取值范围用区间表示）.

20.（本小题满分16分）

定义在D上的函数
，如果满足：对任意
，存在常数
，都有
成立，则称
是D上的有界函数，其中M称为函数
的上界.

举例：
，
，则对任意
，
，根据上述定义，
在
上为有界函数，上界可取3，5等等.

已知函数
，
.

（1）当
时，求函数
在
上的值域，并判断函数
在
上是否为有界函数，请说明理由；

（2）求函数
在
上的上界T的取值范围；

（3）若函数
在
上是以3为上界的函数，求实数的取值范围.

曲塘中学2013-2014学年第一学期高一年级期中考试201311

数学试卷

参考答案与评分建议

一 填空题

1. {4} 2.或
3.

4.
,(
也可) 5. a 6.奇

7. 19 8.
9. [0，2]

10.④ 11.
12.③⑤

13.①④⑤ 14.

二 解答题

15. 解：（1）由

………………………………4分

由
得
，即得
…………………8分

（2）由
，得
.

，

即
………………………………………14分

16. 解：（1）函数
＝

既不是奇函数，也不是偶函数，………2分

理由如下：

，

注意到
，

故
且

所以函数
＝

既不是奇函数，也不是偶函数. ………7分

（2）设
为区间
上的任意两个值，且
，

因为
=
……10分

又
故
，
，所以
……12分

即
，故函数
＝
区间
上为增函数.…14分

17. 解：（1）由
得
，由
得
∴
；……6分

（2）

……………………………………………10分

（3）由（1）
得

∴
.

当
，
，

当
，
……………………………………15分

18. 解：（1）
……………………………………………5分

（2）图略；单调增区间为
；单调减区间
……………10分

（3）
或
时，一解；

或
时，两解；

时，三解. ………………………………………………15分

19. 解：（1）标价为1000元的商品消费金额为800元，获得奖券150元，优惠额为

350元，所以优惠率为0.35. ………………4分

（2）y=
……………………10分

（3）购买标价在[625，800）（元）内的商品，消费金额在[500，640）（元）内.

设顾客购买标价为x元的商品（625≤x<800）,

消费金额为0.8x.获得奖券100元，

此时优惠率为
，解得x≤750

综上所述，顾客购买标价的取值范围为[625,750](元)时，

可得到不小于
的优惠率. ……………16分

20. 解：（1）当
时，
，

设
，
，所以：

，值域为
，

不存在正数M，使
时，
成立，

即函数在
上不是有界函数.………………………………………5分

（2）设
，
，

在
上是减函数，值域为

要使
恒成立，即：
…………………………………………10分

（3）由已知
时，不等式
恒成立，即：

设
，
，不等式化为

方法（一）讨论：

当
即：
时，
且
得：

当
即：
时，
，得

综上，

方法（二）

不等式
且
在
上恒成立，

分离参数法得

且
在
上恒成立，

得
.………………………………………………………………16分