一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵，为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为 （ ）

A．30 B．25

C．20 D．15

2．奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是 （ ）

A．对立事件 B．不可能事件

C．互斥但不对立事件 D．不是互斥事件

3．已知五个数据3,5,7,4,6，则该样本标准差为（ ）

A．1 B.

C. D．2

4．某工厂对一批产品进行了抽样检测．下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 （ ）

A．90 B．75

C．60 D．45

5．要得到
的图象只需将y=3sin2x的图象（ ）

A．向左平移
个单位 B．向右平移
个单位

C．向左平移
个单位 D．向右平移
个单位

6.如图,曲线对应的函数是（ ）

A．y=|sinx|

B．y=sin|x|

C．y=－sin|x|

D．y=－|sinx|

7．化简
的结果是（ ）

A．
B．
　　C．
D．

8．函数
的图象（ ）

A．关于原点对称 B．关于点（－
，0）对称

C．关于y轴对称 D．关于直线x=
对称

9．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则该函数的表达式为（ ）

A．y＝2sin

B．y＝2sin

C．y＝2sin

D．y＝2sin

10．某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S的值是(　　)

A．－3 B．－

C. D．2

二、填空题(本题共5小题，每小题5分，共25分)

11．102,238的最大公约数是________．

12．执行如图所示的程序框图，若输入x＝10，则输出y的值为______．

13．将函数y＝sin(x＋)的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得 的图象．

14．已知

则
.

15．函数
的最小值是 .

三、解答题(本大题共2个大题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16．(12分)已知tan α＝，求的值．

17．(13分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.

(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．

（二）能力测试

四、非解答题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

18．已知sin＝，则cos的值为 （ ）

A. B．－ C．－ D.

19．若1＋sin2θ＝3sinθcosθ则tanθ＝________.

20．袋里装有5个球，每个球都记有1～5中的一个号码，设号码为x的球质量为(x2－5x＋30)克，这些球以同等的机会(不受质量的影响)从袋里取出．若同时从袋内任意取出两球，则它们质量相等的概率是________．

五、解答题(本大题共3个大题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

21．(10分)已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．

22．(12分)为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：

(1)估计该校男生的人数；

(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；

(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm之间的概率．

23．(13分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0且ω>0,0<φ<的部分图象，如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若方程f(x)＝a在上有两个不同的实根，试求a的取值范围．

高一数学（理）

（一）水平测试

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵，为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为 (　 　)

A．30 B．25 C．20 D．15

[答案]　C

[解析]　抽样比是＝，则样本中松树苗的数量为×4 000＝20.

2．奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是 (　 　)

A．对立事件 B．不可能事件

C．互斥但不对立事件 D．不是互斥事件

[答案]　C

[解析]　甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．

3．已知五个数据3,5,7,4,6，则该样本标准差为 (　　 )

A．1 B. C. D．2

[答案]　B

[解析]　∵＝×(3＋5＋7＋4＋6)＝5，

∴s＝

＝＝.

4．某工厂对一批产品进行了抽样检测．下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 (　 　)

A．90 B．75 C．60 D．45

[答案]　A

[解析]　设样本容量是n，产品净重小于100克的概率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则＝0.300，所以n＝120.净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75.

所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90.

5．要得到
的图象只需将y=3sin2x的图象 （ C ）

A．向左平移
个单位 B．向右平移
个单位

C．向左平移
个单位 D．向右平移
个单位

6.如图,曲线对应的函数是 （ C ）

A．y=|sinx| B．y=sin|x| C．y=－sin|x| D．y=－|sinx|

7．化简
的结果是 ( B )

A．
B．
　　C．
D．

8．函数
的图象 （ B ）

A．关于原点对称 B．关于点（－
，0）对称 C．关于y轴对称 D．关于直线x=
对称

9．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则该函数的表达式为 (　C )．

A．y＝2sin B．y＝2sin

C．y＝2sin D．y＝2sin

10．某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S的值是(　　)

A．－3 B．－ C. D．2

[答案]　B

[解析]　该程序框图的运行过程是：

S＝2，i＝1，i＝1≤2 010成立，

S＝＝－3；

i＝1＋1＝2，i＝2≤2 010成立，

S＝＝－；

i＝2＋1＝3，i＝3≤2010成立，

S＝＝；

i＝3＋1＝4，

i＝4≤2 010成立；

S＝＝2；

i＝4＋1＝5，…….

对于判断框内i的值，n∈N，当i＝4n＋1时，S＝2；当i＝4n＋2时，S＝－3；当i＝4n＋3时，S＝－；当i＝4n＋4时，S＝.由于2011＝4×502＋3，则S＝－.该程序框图中含有当型循环结构，判断框内的条件不成立时循环终止，即i＝2 011时开始不成立，输出S＝－.

二、填空题(本题共5小题，每小题5分，共25分)

11．102,238的最大公约数是________．

[答案]　34

[解析]　利用辗转相除法或更相减损术可得最大公约数是34.

12．执行如图所示的程序框图，若输入x＝10，则输出y的值为________．

13．函数
的最小值是 -5 .

14．已知
则

.

15．将函数y＝sin(x＋)的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得
的图象．

三、解答题(本大题共2个大题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16．(12分)已知tan α＝，求的值．

解　原式＝＝＝＝

＝＝＝－3.

17．(13分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.

(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．

解　(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1,4和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3，共6个．

从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1, 3和2,1两个．

因此所求事件的概率P＝＝.

(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号

为n，其一切可能的结果(m，n)有：

(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．

又满足条件n≥m＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件n≥m＋2的事

件的概率为P1＝.

故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－＝.

（二）能力测试

一、非解答题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

18．已知sin＝，则cos的值为 (　 　)．

A. B．－ C．－ D.

解析　根据题意得：cos＝cos＝－sin＝－，故选B.

答案　B

19．若1＋sin2θ＝3sinθcosθ则tanθ＝________.

[答案]　1或 [解析]　由1＋sin2θ＝3sinθcosθ变形得2sin2θ＋cos2θ－3sinθcosθ＝0?(2sinθ－cosθ)(sinθ－cosθ)＝0，

∴tanθ＝或1.

20．袋里装有5个球，每个球都记有1～5中的一个号码，设号码为x的球质量为(x2－5x＋30)克，这些球以同等的机会(不受质量的影响)从袋里取出．若同时从袋内任意取出两球，则它们质量相等的概率是________．

三、解答题(本大题共3个大题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

21．(10分)已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．

解　∵sin α＝－3cos α.

又sin2α＋cos2α＝1，得(－3cos α)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1.∴cos α＝±.

又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号，∴α在第二、四象限．

①当α是第二象限角时，sin α＝，cos α＝－.

②当α是第四象限角时，sin α＝－，cos α＝.

22．(12分)为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：

(1)估计该校男生的人数；

(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；

(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm之间的概率．

解　(1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.

(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，

样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm之间的频率f＝＝0.5.故由f估计

该校学生身高在170～185 cm之间的概率p1＝0.5.

(3)样本中身高在180～185 cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在

185～190 cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.

从上述6人中任选2人的树状图为：

故从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有

1人身高在185～190 cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率p2＝＝ .

23．(13分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0且ω>0,0<φ<的部分图象，如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若方程f(x)＝a在上有两个不同的实根，试求a的取值范围．

解　(1)由图象易知函数f(x)的周期为

T＝4×＝2π，A＝1，所以ω＝1.

法一　由图可知此函数的图象是由y＝sin x的图象向左平移个单位得到的，故φ＝，所以函数解析式为f(x)＝sin.

(2)方程f(x)＝a在上有两个不同的实根等价于y＝f(x)与y＝a的图象在上有两个交点，在图中作y＝a的图象，如图为函数f(x)＝sin在上的图象，当x＝0时，f(x)＝，当x＝时，f(x)＝0，由图中可以看出有两个交点时，a∈∪(－1,0)．