白鹭洲中学2013—2014学年下学期高一年级第三次月考

数学试卷

考生注意：

试卷所有答案都必须写在答题卷上。

答题卷与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

考试时间为120分钟，试卷满分为150分。

一、选择题：（本大题共有10 题，每 题5分，共50分）

1. 下列语句中，是赋值语句的为（　　）

A. m+n=3 B. 3=i C. i=i2+1 D. i=j=3

2. 已知a1，a2∈（0，1），记M=a1a2，N=a1+a2-1，则M与N的大小关系是（　　）

A.M>N B. M

3. 甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是X甲，X乙，则下列结论正确的是（　　）

A．X甲＜X乙；乙比甲成绩稳定

B．X甲 >X乙；甲比乙成绩稳定

C．X甲＜X乙；甲比乙成绩稳定

D．X甲 >X乙；乙比甲成绩稳定

4. 将两个数a=5，b=12交换为a=12，b=5，下面语句正确的一组是（　　）

A.
B.
C.
D.

5. 将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500. 采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且样本中含有一个号码为003的学生，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，三个营区被抽中的人数分别为（　　）

A. 20,15,15 B. 20,16,14 C. 12,14,16 D. 21,15,14

6. 如图给出的是计算
+
+
+…+
的值的一个框图，

其中菱形判断框内应填入的条件是（　　）

A. i>10

B. i<10C. i>11

D. i<11

7. 设a、b是正实数， 给定不等式：①
＞
；②a＞|a-b|-b；③a2+b2＞4ab-3b2；④ab+
＞2，上述不等式中恒成立的序号为（　　）

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

8．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是(　　)．

A．0 B．1 C．2 D．4

9. 在△ABC中，三边a、b、c成等比数列，角B所对的边为b，则cos2B+2cosB的最小值为（　　）

A.
B.-1 C.
D. 1

10. 给出数列
，
，
，
，
，
，…，
，
，…，
，…，在这个数列中，第50个值等于1的项的序号是（　　）

A.4900 B.4901 C.5000 D.5001

二、填空题：（本大题共有5 题，每 题5分，共25分）

11.已知x、y的取值如下表：

x

0

1

3

4



y

2.2

4.3

4.8

6.7



从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为y=0.95x+a，则a=

12. 已知函数f（x）＝
，则不等式f（x）≥x2的解集是

13. 如果运行下面程序之后输出y的值是9，则输入x的值是

输入??xIf??x＜0??Then y=（x+1）*（x+1）Else y=（x-1）*（x-1）End?if输出???yEnd

14. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若（
b-c）cosA=acosC，则cosA=

15. 设a+b=2，b＞0，则
+
的最小值为

三、解答题 （本大题共有6 题，共75 分）

16. 已知关于x的不等式x2-4x-m＜0的解集为非空集{x|n＜x＜5}（1）求实数m和n的值（2）求关于x的不等式loga（-nx2+3x+2-m）＞0的解集．

17. 某校高一学生共有500人，为了了解学生的历史学习情况，随机抽取了50名学生，对他们一年来4次考试的历史平均成绩进行统计，得到频率分布直方图如图所示，后三组频数成等比数列．（1）求第五、六组的频数，补全频率分布直方图；（2）若每组数据用该组区间中点值作为代表（例如区间[70，80）的中点值是75），试估计该校高一学生历史成绩的平均分；（3）估计该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数．

18. 根据如图所示的程序框图，将输出的x，y依次记为

x1，x2，…，x2013，y1，y2…y2013，（1）求出数列{xn}，{yn}（n≤2013）的通项公式；（2）求数列{xn+yn}（n≤2013）的前n项的和Sn．

19. 在△ABC中，∠B=45°，AC=
，cosC=
，（1）求BC的长；（2）若点D是AB的中点，求中线CD的长度．

20. 某森林出现火灾，火势正以每分钟100 m2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁1 m2森林损失费为60元，问应该派多少消防员前去救火，才能使总损失最少？

21. 各项为正数的数列{an}满足
＝4Sn?2an?1（n∈N*），其中Sn为{an}前n项和．（1）求a1，a2的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）是否存在正整数m、n，使得向量
=（2an+2，m）与向量
=（?an+5，3+an）垂直？说明理由．

1~5 CAADB 6~10 ADDCB

11. 2.6 12. [-1,1] 13.-4或4 14.
15.

16.解：（1）由题意得：n和5是方程x2-4x-m=0的两个根（2分）
（3分）∴
（1分）（2）1°当a＞1时，函数y=logax在定义域内单调递增由loga（-nx2+3x+2-m）＞0得x2+3x-3＞1（2分）即 x2+3x-4＞0x＞1 或 x＜-4（1分）2°当0＜a＜1时，函数 y=logax在定义域内单调递减由：loga（-nx2+3x+2-m）＞0得：
（2分）即
（1分）（1分）∴当a＞1时原不等式的解集为：（-∞，-4）∪（1，+∞），当0＜a＜1时原不等式的解集为：
（1分）

17. 解：（1）设第五、六组的频数分别为x，y由题设得，第四组的频数是0.024×10×50=12则x2=12y，又x+y=50-（0.012+0.016+0.03+0.024）×10×50即x+y=9 ∴x=6，y=3

补全频率分布直方图
（2）该校高一学生历史成绩的平均分
＝10(45×0.012+55×0.016+65×0.03+75×0.024+85×0.012+95×0.006）=67.6（3）该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数：500×（0.024+0.012+0.006）×10=210

18. 解：（1）由程序框图可得到数列{xn}是首项为2，

公差为3的等差数列，∴xn=3n-1，（n≤2013）．数列{yn+1}是首项为3公比为2的等比数列，∴yn+1=3?2n-1，∴yn=3?2n-1-1，（n≤2013）．（Ⅱ）∵xn+yn=3n-1+3?2n-1-1=，（n≤2013）．∴Sn=（2+5+…+3n-1）+（3+6+…+3?2n-1）-n=
+3?2n-3-n=3?2n+
（n≤2013）．

19.解：（1）由cosC＝
得sinC＝
sinA＝sin(180°?45°?C)＝
(cosC+sinC)＝
由正弦定理知BC＝
?sinA＝
?
＝3

（2）AB＝
?sinC＝
?
＝2, BD＝
AB＝1由余弦定理知CD＝
=
＝

20. 解：设派x名消防员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y元，则t=
=
，y=灭火材料、劳务津贴+车辆、器械、装备费+森林损失费=125tx+100x+60（500+100t）=125x?
+100x+30000+

y=1250?
+100（x-2+2）+30000+
=31450+100（x-2）+
≥31450+2
=36450，当且仅当100（x-2）=
，即x=27时，y有最小值36450．答：应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元.

21. 解：（1）当n=1时，
＝4S1?2a1?1，化简得(a1?1)2＝0，解之得a1=1当n=2时，
＝4S2?2a2?1=4（a1+a2）-2a2-1将a1=1代入化简，得a22?2a2?3＝0，解之得a2=3或-1（舍负）综上，a1、a2的值分别为a1=1、a2=3；（2）由
＝4Sn?2an?1…①，＝4Sn+1?2an+1?1…②②-①，得
?
＝4an+1?2an+1+2an＝2(an+1+an)移项，提公因式得（an+1+an）（an+1-an-2）=0∵数列{an}的各项为正数，∴an+1+an＞0，可得an+1-an-2=0因此，an+1-an=2，得数列{an}构成以1为首项，公差d=2的等差数列∴数列{an}的通项公式为an=1+2（n-1）=2n-1； （3）∵向量
=（2an+2，m）与向量
=（-an+5，3+an）∴结合（2）求出的通项公式，得
=（2（2n+3），m），
=（-（2n+9），2n+2）若向量
⊥
，则
?
=-2（2n+3）（2n+9）+m（2n+2）=0化简得m=4（n+1）+16+
∵m、n是正整数，∴当且仅当n+1=7，即n=6时，m=45，可使
⊥
符合题意综上所述，存在正整数m=45、n=6，能使向量
=（2an+2，m）与向量
=（-an+5，3+an）垂直．

白鹭洲中学2013—2014学年下学期高一年级第三次月考

数学试卷

考生注意：

试卷所有答案都必须写在答题卷上。

答题卷与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

考试时间为120分钟，试卷满分为150分。

一、选择题：（本大题共有10 题，每 题5分，共50分）

1. 下列语句中，是赋值语句的为（　　）

A. m+n=3 B. 3=i C. i=i2+1 D. i=j=3

解：根据题意，A：左侧为代数式，故不是赋值语句B：左侧为数字，故不是赋值语句C：赋值语句，把i2+1的值赋给i．D：为用用两个等号连接的式子，故不是赋值语句故选C．

2. 已知a1，a2∈（0，1），记M=a1a2，N=a1+a2-1，则M与N的大小关系是（　　）

A.M>N B. M

解：由M-N=a1a2-a1-a2+1=（a1-1）（a2-1）＞0，故M＞N，故选B．

3. 甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是X甲，X乙，则下列结论正确的是（　　）

A．X甲＜X乙；乙比甲成绩稳定

B．X甲 >X乙；甲比乙成绩稳定

C．X甲＜X乙；甲比乙成绩稳定

D．X甲 >X乙；乙比甲成绩稳定

解：由茎叶图可知，甲的成绩分别为：72，77，78，86，92，平均成绩为：81；乙的成绩分别为：78，82，88，91，95，平均成绩为：86.8，则易知X甲＜X乙；从茎叶图上可以看出乙的成绩比较集中，分数分布呈单峰，乙比甲成绩稳定．故选A．

4. 将两个数a=5，b=12交换为a=12，b=5，下面语句正确的一组是（　　）

A.
B.
C.
D.

解：先把b的值赋给中间变量c，这样c=12，再把a的值赋给变量b，这样b=5，把c的值赋给变量a，这样a=12．故选：D

5. 将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500. 采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且样本中含有一个号码为003的学生，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，三个营区被抽中的人数分别为（　　）

A. 20,15,15 B. 20,16,14 C. 12,14,16 D. 21,15,14

解：系统抽样的分段间隔为
=10，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔10个号抽到一个人，则分别是003、013、023、033构成以3为首项，10为公差的等差数列，故可分别求出在001到200中有20人，在201至355号中共有16人，则356到500中有14人．故选：B．

6. 如图给出的是计算
+
+
+…+
的值的一个框图，

其中菱形判断框内应填入的条件是（　　）

A. i>10 B. i<10C. i>11 D. i<11

解：∵S=
+
+
+…+
，并由流程图中S=S+

循环的初值为1，终值为10，步长为1，所以经过10次循环就能算出S=
+
+
+…+
的值，故i≤10，应不满足条件，继续循环所以i＞10，应满足条件，退出循环判断框中为：“i＞10？”．故选A．

7.设a、b是正实数， 给定不等式：①
＞
；②a＞|a-b|-b；③a2+b2＞4ab-3b2；④ab+
＞2，上述不等式中恒成立的序号为（　　）

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

解：∵a、b是正实数，∴①a+b≥2
?1≥
?
≥
．当且仅当a=b时取等号，∴①不恒成立；②a+b＞|a-b|?a＞|a-b|-b恒成立；③a2+b2-4ab+3b2=（a-2b）2≥0，当a=2b时，取等号，例如：a=1，b=2时，左边=5，右边=4×1×2-3×22=-4∴③不恒成立；④ab+
≥
=2
＞2恒成立．答案：D

8．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是(　　)．

A．0 B．1 C．2 D．4

解析　由题知a＋b＝x＋y，cd＝xy，x＞0，y＞0，则＝≥＝4，当且仅当x＝y时取等号．

答案　D

9. 在△ABC中，三边a、b、c成等比数列，角B所对的边为b，则cos2B+2cosB的最小值为（　　）

A.
B.-1 C.
D.1

解：∵a、b、c，成等比数列，∴b2=ac，∴cosB=
=
≥
=
．∴cos2B+2cosB=2cos2B+2cosB-1=2（cosB+
）2