2014年春季湖北省部分重点中学期中联考

高一理科数学试卷

命题学校：黄陂一中盘龙校区 命题教师：刘建志 刘青松 审题教师：韩明波

考试时间：2014年4月14日上午8:00—10:00 试卷满分：150分

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。

1．已知
，则
的值为 （ ）

A．
B.
C.
D.

2. 在△ABC中，
，
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

3．已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题一定成立的是（　 　）

A．
B.
C.
D.

4.已知数列
为等差数列，且
的值为 （ ）

A.
B.
C.
D.

5．若不等式
的解集是R，则m的范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知数列
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

7．设a＞0，b＞0，若
是
和
的等比中项，则
的最小值为（　 ）

A．6 B.
C. 8 D. 9

8．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是(　　)

A．12万元 B．20万元 C．25万元 D．27万元

9．
两地相距
，且
地在地的正东方。一人在地测得

建筑
在正北方，建筑在北偏西
；在地测得建筑
在北偏东

，建筑在北偏西
，则两建筑
和之间的距离为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．等差数列
的前n项和为
，已知
，

，则
（ ）

A. 2014 B. 4028 C. 0 D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11.若
，则
的最大值为 。

12.若关于x的不等式
的解集为
，则m= 。

13．设正项等比数列
的前项和为
，若
，则
。

14．已知
，则
= 。

15．把数列
中各项划分为：（3），（5，7），(9，11，13)，(15，17，19，21)，(23)，(25，27)，

(29，31，33)， (35，37，39，41)。照此下去，第100个括号里各数的和为 。

三．解答题（共6题，总计75分）。

16．（本题满分12分）

已知
，
。

（1）求
；

（2）求
。

17．（本题满分12分）

已知
的三内角、、
所对的边分别是，
，，向量

，且
。

（1）求角的大小；

（2）若
，求
的范围。

18．（本题满分12分）

已知
的三内角、、
所对的边分别是，
，，且，
，成等比数列。

（1）若
，求
的值；

（2）求角B的最大值，并判断此时
的形状。

19．（本题满分12分）

（1）阅读理解：①对于任意正实数
，
只有当
时，等号成立．

②结论：在
（
均为正实数）中，若
为定值， 则
，只有当
时，
有最小值
．

（2）结论运用：根据上述内容，回答下列问题：（提示：在答题卡上作答）

①若
，只有当
__________时，
有最小值__________．

②若
，只有当
__________时，
有最小值__________．

（3）探索应用：学校要建一个面积为392
的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4 m的小路（如图所示）。问游泳池的长和宽分别为多少米时，共占地面积最小？并求出占地面积的最小值。

20．（本题满分13分）

已知等差数列
满足
,数列
满足
。

（1）求数列
和
的通项公式；

（2）求数列
的前项和；

（3）若
，求数列
的前项和
。

21．（本题满分14分）

已知数列
的首项
。

（1）求证：
是等比数列，并求出
的通项公式；

（2）证明：对任意的
；

（3）证明：
。

2014年春季湖北省部分重点中学期中联考

高一理科数学答案

1-10 BACBC BDDCA

11． -4 12. -1 13. 9 14.
15. 1992

16. 解：（1）
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

（2）
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

17.解：（1）∵ m＝(cosB，cosC)，n＝(2a+c，b)，且m⊥n.

∴cosB(2a+c)+ b cosC=0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

∴cosB(2sinA+sinC)+ sinB cosC=0

∴2cosBsinA+cosBsinC+ sinB cosC=0

即2cosBsinA=－sin（B+C）=－sinA。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

∴cosB=－1／2

∵0≤B≤180

∴B=120.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

（2）由余弦定理，得

当且仅当
时，取等号.。。。。10分

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 11分

又

。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

18．解：（1）sinC=2sinA利用正弦定理化简得：c=2a，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac=2a2，即b=
a，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

∴cosB=
=
=
；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

（2）∵b2=ac，

∴cosB=
=
≥
=
，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

∵函数y=cosx在区间[0，π]上为减函数，

∴B∈（0，
]，即角B的最大值为
，。。。。。 。。。。。。。。。。10分

此时有a=c，且b2=ac，可得a=b=c，

则△ABC为等边三角形．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

19.解：(2) ① 1 ，2 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

② 3，10 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

(3) 设游泳池的长为x m，则游泳池的宽为m,又设占地面积为y
，依题意，

得
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

整理y=424＋4(x＋)≥424＋224=648 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

当且仅当x=即 x=28时取“=”.此时=14。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

所以游泳池的长为28m，宽14m时，占地面积最小，占地面积的最小值是648
。。。。 12分

20.解：（1）
；
，

，以上各式相乘，得
，
，

；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

（2）
，

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

（3）
，

.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。13分