长春市十一高中2013-2014学年度高一下学期期末考试

数 学 试 题（理）

本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分120分，测试时间120分钟。

第一部分（选择题）

一、选择题（每题5分，共60分）

1．在△ABC中，a＝2，b＝，A＝45°，则B等于(　　)

A．45°　　　　　　B．30° C．60° D．30°或150°

2．已知△ABC中，三内角A，B，C依次成等差数列，三边a，b，c成等比数列，则△ABC是(　　)

A．等边三角形 B．等腰直角三角形

C．钝角三角形 D．直角三角形

3．已知
、
，、、
、成等差数列，、、
、成等比数列，则
的最小值是(　　)

A．
　　　　　　B． C． D．

4．设
，
，若
是
与
的等比中项，则
的最小值为(　　)

A．
　　　　　　B． C． D．

5．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是(??? )

A．垂直且相交???????????????????????? B．相交但不一定垂直

C．垂直但不相交?????????????????????? D．不垂直也不相交

6．已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：

①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α，则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.

其中真命题的个数是(? )

A．
　　　　　　B． C． D．

7.如图,点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,则下列四个结论:

①三棱锥A-D1PC的体积不变;②A1P∥平面ACD1;③DP⊥BC1;④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的结论的个数是　(　　)

A．
　　　　　　B．
C．
D．

8. 直线
，
的倾斜角为（ ）

A． B．
C．
D．

9.直线
过点
，且与、轴正半轴围成的三角形的面积等于
的直线方程是（ ）

A．
? ?B．
??

C．
? D．

10．方程
表示的图形是半径为（
）的圆，则该圆 圆心在（ ）

A．第一象限　　　 B．第二象限　 ?C．．第三象限　 D．第四象限

11.侧棱和底面垂直的三棱柱
的六个顶点都在球
的球面上，若
，
，
，则球
的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都等于，若A1在底面ABC内的射影为

△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成的角的余弦值等于（ ）

A．
　　　　　　 B．
? C．
D．

第二部分（非选择题）

二、填空题（每题4分，共16分）

13．等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.

14.在平面直角坐标系
中，直线
与圆
相交于，两点，则弦
的长等于________．

15.如图，是二面角
的棱
上一点，分别在、
上引射线
、
，截
，如果∠
∠

，∠
，则二面角
的大小是___________.

16.设三棱锥
的顶点在平面
上的射影是
，给出下列命题：

①若
⊥
，
⊥
，则
是△
的垂心；

②若
、
、
两两互相垂直，则
是△
的垂心；

③若∠
，
是
的中点，则
；

④若
，则则
是△
的外心.

请把正确命题的序号填在横线上:______________.

三、解答题（本大题共4小题，共44分）

17．(本小题满分10分)

已知正常数a、b和正变数x、y，满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a、b的值．

18．(本小题满分10分)

等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.

(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ) 设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{}的前n项和．

19．(本小题满分12分)

如图，在四棱锥
中，
⊥底面
，

底面
为正方形，
，，分别是
，

的中点．

(Ⅰ)求证：
平面
；

(Ⅱ)求证：
；

(Ⅲ）设PD=AD=a, 求三棱锥B-EFC的体积.

20．(本小题满分12分)

如图，四棱锥
的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．

(Ⅰ) 求证：平面AEC⊥平面PDB；

(Ⅱ) 当PD＝AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．

附加题（10分）（计入总分）：

如图，空间四边形
的对棱
、
成
的角，且
，平行于
与
的截面分别交
、
、
、
于、、
、
．在
的何处时截面
的面积最大？最大面积是多少？

长春市十一高中2013-2014学年度高一数学下学期期末考试答案

一、选择题（本大题共12小题．每小题5分，共60分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



B

A

D

B

C

C

C

B

A

D

D

C





二、填空题（本题共4个小题。每小题4分，共16分）

13．；10 14．2 ； 15 90° ； 16．①②③④；

三、 解答题（总分44分）

17．(本小题满分10分)．

解：x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·(＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，

等号在＝即＝时成立，∴x＋y的最小值为(＋)2＝18，--------5分

又a＋b＝10，

∴ab＝16.∴a，b是方程x2－10x＋16＝0的两根，∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.-------10分

18．(本小题满分10分)

解：　(1)设数列{an}的公比为q.由a＝9a2a6，得a＝9a，所以q2＝.由条件可知q>0，故q＝.由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝.故数列{an}的通项公式为an＝.---------5分

(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.

故＝－＝－2(－)，＋＋…＋＝－2[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝－.所以数列{}的前n项和为－.------------------10分

19．(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）证明：
分别是
的中点，

20．(本小题满分12分)

解：(1)证明　∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD，

∴PD⊥AC.又PD∩BD＝D，

∴AC⊥平面PDB.又AC?平面AEC，

∴平面AEC⊥平面PDB.-------------------6分

(2)解　设AC∩BD＝O，连接OE.

由(1)知，AC⊥平面PDB于点O，

∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角．

∵点O、E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，且OE＝PD.

又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，∴OE⊥AO.

在Rt△AOE中，OE＝PD＝AB＝AO，∴∠AEO＝45°.

即AE与平面PDB所成的角为45°-------------------12分.

附加题（10分）（计入总分）：

解：
与
成
角，
或
，设
，
，
，
，由
，得
．

．当
时，
，即当为
的中点时，截面的面积最大，最大面积为
．