辽宁省鞍山市2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题（A卷）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．sin 480°等于

A．－ B． C．－ D．

2．某大学数学系共有本科生1 000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为

A．80 B．40 C．60 D．20

3．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是(　　)．

A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)

C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D．e1＝(2，－3)，e2＝

4．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是

A．4，－2 B．4，1 C．1，4 D．－2，4

5．一次选拔运动员，测得7名选手的身高(单位：cm)分布茎叶图为



记录的平均身高为177 cm，有一名选手的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为

A．5 B．6 C．7 D．8

6．要得到
的图象只需将y=3sin2x的图象

A．向左平移
个单位 B．向右平移
个单位

C．向左平移
个单位 D．向右平移
个单位

7．最小二乘法的原理是

8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是

A．
B．
C．
D．

9．若|a|＝2sin 15°，|b|＝4cos 15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值是

A． B．  C．2 D．

10．在△ABC中，a＝4，b＝4，角A＝30°，则角B等于

A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°

11．设cosα＝－，α∈(0，π)，则α的值可表示为

A．arccos B．－arccos C．π－arccos D．π＋arccos

12．已知cos(α－β)＝，sinβ＝－，且α∈，β∈，则sin α＝

A． B． C．－ D．－

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．执行如图所示的程序框图，若输入x＝10，则输出y的值为_____．

14．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．

15．sin 1，sin 2， sin 3，sin 4的大小顺序是________．

16．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：

（Ⅰ）估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；

（Ⅱ）从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm之间的概率．

18．（本小题满分12分）

下表数据是水温度x(℃)对黄酮延长性y(%)效应的试验结果，y是以延长度计算的，且对于给定的x，y为变量．

x(℃)

300

400

500

600

700

800



y(%)

40

50

55

60

67

70



（Ⅰ）求y关于x的回归方程；

（Ⅱ）估计水温度是1 000 ℃时，黄酮延长性的情况．

（可能用到的公式：
，
，其中
、
是对回归直线方程
中系数、
按最小二乘法求得的估计值）

19．（本小题满分12分）

在△ABC中，中线长AM＝2．

（Ⅰ）若＝－2，求证：＋＋＝0；

（Ⅱ）若P为中线AM上的一个动点，求·(＋)的最小值．

20．（本小题满分12分）

如图△ABC中，已知点D在BC边上，且
，
，

，
．

（Ⅰ）求AD的长；

（Ⅱ）求cosC．

21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝－2sin2x＋sin 2x＋．

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；

（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．

22．（本小题满分12分）

函数y＝2cos(ωx＋θ)的图象与y轴交于点(0，)，且该函数的最小正周期为π.

（Ⅰ）求θ和ω的值；

（Ⅱ）已知点A，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈时，求x0的值．

高一数学A参考答案及评分标准

18解　(1) 列出下表并用科学计算器进行有关计算．

i

1

2

3

4

5

6



xi

300

400

500

600

700

800



yi

40

50

55

60

67

70



xiyi

12 000

20 000

27 500

36 000

46 900

56 000



x

90 000

160 000

250 000

360 000

490 000

640 000



＝550；＝57；





于是可得

=
＝≈0．058 86， ………6分

＝－＝57－0．05 886×550＝24．627．

因此所求的回归直线的方程为：＝0．058 86x＋24．627． ………8分

(2将x＝1 000代入回归方程得

y＝0．058 86×1 000＋24．627＝83．487，即水温度是1 000 ℃时，黄酮延长性大约是83．487% ………12分

21解：(1)f(x)＝(1－2sin2x)＋sin 2x

＝sin 2x＋ cos 2x＝2sin(2x＋)， ………3分

所以f(x)的最小正周期T＝＝π． ………5分

由2kπ－<2x＋<2kπ＋得kπ－<2x＋

所以f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋]（k∈Z） ………8分

(2)列表：

x

0









π



2x＋





π



2π





f(x)



2

0

－2

0







描点连线得图象，如图所示．

………12分