南安第一中学2014-2015学年高一上学期期末考试

数学试题

本试卷考试内容为：数学必修2，试
卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．

参考公式：柱体体积公式：
，椎体体积公式：
，其中S为底面面积，h为高；

球的表面积公式：
，其中R为球的半径．

第I卷（选择题 共60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．已知直线经过点
和点
，则直线
的斜率为（ B ）

A．3 B．-2 C． 2 D． 不存在

2．圆
与圆
的位置关系是（ B ）

A．相离　 B．相交　　 C．外切　　 D．内切

3．设
是两条不同的直线，
是三个不同的平面，给出下列四个命题：

① 若
，
，则
② 若
，
，
，则

③ 若
，
，则
④ 若
，
，则

其中正确命题的序号是（ A ）

A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④

4．如图是一个无盖正方体盒子的表面展开图，
为其上的三个点，

则在正方体盒子中，
等于（ B ）

A．
B．
C．
D．

5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，

则正视图中的
的值是（ D ）

A．2
B．

C．
D．3

6．已知
是两条异面直线，
，那么
与
的位置关系（ C ）

A．一定是异面 B．一定是相交 C．不可能平行 D．不可能相交

7．自点
作圆
的切线，则切线的方程为（ C ）

A．
B．

C．
或
D．
或

8．如图中
为四边形
的斜二测直观图，则原平面图形
是（　 A 　）

Ａ．直角梯形 Ｂ．等腰梯形

Ｃ．非直角且非等腰的梯形 Ｄ．不可能是梯形

9．
是直线
的斜率，
是直线
的倾斜角，若
，则
的取值范围是（ C ）

A．
B．
C．
D．

10．两圆相交于点
，
，两圆的圆心均在直线
上，则
（ C ）

A．－1 B．2 C．3 D．0

11．在体积为15的斜三棱柱
中，
是
上的一点，

的体积为3，则三棱锥
的体积为（ C ）

A．1 B．
C．2 D．3

12．若动点
分别在直线
和
上移动，点
在圆C：
上移动，则
中点
到点
距离
的最小值为（　A　）

A．
B．
C．
D．

第II卷（非选择题，共90分）

二．填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．

13．在空间直角坐标系
中，已知点
，
，点
在
轴上，且
，则点
的坐标为
．

14．已知点
，
，则线段
的垂直平分线的方程是
．

15．过点
作圆
的弦，其中最短的弦长为
.

16．如图，三棱柱
中，侧棱
⊥底面
，底面三角形
是正三角形，
是
中点，则下列命题中：

①
与
是异面直线；

②
⊥底面
；

③ 二面角
为钝角；

④
∥平面
．

其中正确命题的序号为 ④ ．（写出所有正确命题的序号）

三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分） 求经过直线
与直线
的交点
，且满足下列条件的直线
的方程：

（1）与直线
平行；

（2）与直线
垂直．

解：
解得
　 所以交点
…………4分

（1）依题意，所求直线斜率
…………6分

故所求直线方程为
，即：
　…………8分

（2）依题意，所求直线斜率
， …………10分

故所求直线方程为
，即：
…………12分

18．（本小题满分12分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥
中，
，
，
，
．

（1）求证：
；

（2）求
与底面
所成角的正切值．

（1）证明：

又

…………8分

（2）解：已知
，连结AC，则
就是
与底面
所成的角，

则在直角三角形
中，
，
，

…………12分

19．（本小题满分12分）如下的三个图中，左边的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在右边画出（单位：
），
为原长方体上底面
的中心．

（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图（直尺作图）；

（2）以
为原点建立适当的空间直角坐标系（右手系），在图中标出坐标轴，并按
照给出的尺寸写出点
的坐标；

（3）连接
，证明：
∥面
．

（1）解：如图（徒手作图不得分，

尺寸不准确酌情给分）

…………4分

（2）解：建立如图直角坐标系

…………8分

（3）证明：连接
，依题意知：
分别为原长方体所在棱中点，

∥
，
∴
∥

∥
，
∴
∥

又
∴
∥

又∵


∴
∥面
……12分

20．（本小题满分12分）已知圆

，直线
．

（1）若圆
与直线
相离，求
的取值范围；

（2）若圆
过点
，且与圆
关于直线
对称，求圆
的方程．

解：（1）圆

即

圆心
到直线l的距离

， ………… 2分

若圆
与直线
相离，则
，∴
即
………… 4分

又
即
∴
………… 6分

（2）设圆
的圆心
的坐标为
，由于圆
的圆心
，

依题意知：点
和点
关于直线
对称， ………… 7分

则有：
， …………10分

∴圆
的方程为:
， 又因为圆
过点
，

∴
，
∴圆
的方程为：
……12分

21．（本小题满分12分）如图，在长方形
中，
，
为
的中点，以
为折痕，把
折起为
，且平面
平面
。

（1）求证：

（2）求四棱锥
的体积；

（3）在棱
上是否存在一点
，使得
∥平面
，若存在，求出点
的位置，不存在，说明理由。

（1）证明：在长方形
中，
和
为等腰直角三角形，

∴
，∴
，即
………… 2分

∵平面
平面
，且平面
平面
，

∴
平面
，
平面

∴

………… 4分

（2）取
中点
，连接
，则

∵平面
平面
，

且平面
平面
，

平面
，

∴

………… 8分

（3）解：如图，连接AC交BE于Q，连接PQ，

若
∥平面

∵
平面

平面
平面

∴
∥
………… 10分

∴在
中，
， ∵在梯形
中

∴
，即

∴在棱
上存在一点
，且
，使得
∥平面
………… 12
分

22．（本小题满分14分）已知直线