命题人： 蔡静雯 审题人：秦芳军

注意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150 分。考试时间：120分钟 。答卷前，考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置。

2、选择题答案用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上。

3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。

第I卷 选择题

一、选择题（每小题5分，共60分）

1.函数
的最小正周期为　　

A．
B．
C． D．

2.设p：log2x＜0，q：
，则p是q的

A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件

3.设等比数列
中，前项和为
,已知
，则

A.
B.
C.
D.

4.执行如图所示的程序框图，若输出结果为15，则M处的条件为

A．k<8 B．k≥16 C．k<16 D．k≥8

5.函数
的导数是

A.
B.

C.
D.

6.已知向量=

=
,若
，则
的最小值为

A．
B．
C． D．

第4题图

7.平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为

A.π B．4π C．4π D．6π

8.与抛物线C :
相切且倾斜角为
的直线与x轴和y轴的交点分别是A和B，那么过A,B两点的最小圆截抛物线C的准线所得的弦长为

A．4 B．2
C．
D．2

9.网格纸的小正方形边长为1，一个正三棱锥的左视图如图所示，则这个正三棱锥的体积为

A.
B.
C.
D.

10.设
对于函数
,下列结论正确的是

A.有最大值而无最小值 B.有最大值且有最小值

C.有最小值而无最大值 D.既无最大值又无最小值

第9题图

11.双曲线
的左、右焦点分别为
，渐近线分别为
，点在第

一象限内且在
上，若
，则双曲线的离心率是

A．
B．2 C．
D．

12.定义在上的函数
有大于零的极值点，则实数的取值范围是

A．a＞－3 B．a＜－ C．a＞－ D． a＜－3

第II卷 非选择题

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.命题
的否定是　 　 ．

14.已知单位向量
，满足
，则
与
夹角的余弦值为__________．

15.已知
中，角
所对边分别为
，若
，则
的最小值为 .

16.若实数
满足
且实数
，则的取值范围是 ．

三、解答题（17小题10分，其余每题各12分，共70分）

17. (本小题满分10分)

在
中，已知、
、分别是内角
对应的三边, 且
.

(I)求角的大小；

(II)若
, 求
的面积.

18. (本小题满分12分)

已知函数

(I)求
的单调区间和最小值；

(II)求实数的取值范围，使得
对任意
成立．

19. (本小题满分12分)

如图，四棱锥
中，底面
为平行四边形，已知∠

，
，

⊥底面
．

(I)证明：
⊥
；

(II)若
，求二面角
的余弦值．

20. (本小题满分12分)

已知数列
的前n项和为
，且
.

(I)求数列
的通项公式；

(II)若
,求数列
的前n项和
.

21. (本小题满分12分)

已知椭圆
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线
相切，过点
且不垂直于轴的直线与椭圆
相交于
两点.

(I)求椭圆
的方程；

(II)若点关于轴的对称点是，证明：直线
与轴相交于定点.

22.(本小题满分12分)

设函数
，为正整数，
为常数．曲线
在
处切线的方程为
.

(I)求
的值；

(II)求函数
的最大值；

(III)证明:
.

桂林十八中14-15学年度13级高二下学期开学考试卷参考答案

数 学（理科）

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

D

C

B

A

A

C

D

B

C

B

D



二、填空题

13.
14.
15. 16.

三、解答题

18.(1)由题设知f(x)＝lnx，g(x)＝lnx＋.

∴g′(x)＝.………………………………………………………………………………………………………………………………………………3分

令g′(x)＝0得x＝1，

当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，故(0,1)是g(x)的单调减区间．

当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间，

因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．

所以g(x)的最小值为g(1)＝1. …………………………………………………………………………………………………………… 6分

(2)由(1)知g(x)的最小值为1，

所以，g(a)－g(x)<，对任意x>0成立，

只需 g(a)－1<  成立即可，…………………………………………………………………………………………………………………10分

即lna＜1，从而得0＜a＜e. …………………………………………………………………………………………………………………12分

(2)证明：由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为
由
得：
由
得：
设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则
　　①…………… 6分


………………………12分

22.(1)解　因为f(1)＝b，由点(1，b)在x＋y＝1上，

可得1＋b＝1，即b＝0.

因为f′(x)＝anxn－1－a(n＋1)xn，

所以f′(1)＝－a.

又因为切线x＋y＝1的斜率为－1，

所以－a＝－1，即a＝1.故a＝1，b＝0. …………………………………………………………………………4分

(2)解　由(1)知，f(x)＝xn(1－x)＝xn－xn＋1，

f′(x)＝(n＋1)xn－1.

令f′(x)＝0，解得x＝，

即f′(x)在(0，＋∞)上有唯一零点x0＝.

在上，f′(x)＞0，故f(x)单调递增；

而在上，f′(x)＜0，故f(x)单调递减．

故f(x)在(0，＋∞)上的最大值为f＝n·＝.………………………………………8分

(3)证明　令φ(t)＝ln t－1＋(t＞0)，则φ′(t)＝－＝(t＞0)．

在(0,1)上，φ′(t)＜0，故φ(t)单调递减；

而在(1，＋∞)上，φ′(t)＞0，故φ(t)单调递增．

故φ(t)在(0，＋∞)上的最小值为φ(1)＝0，

所以φ(t)＞0(t＞1)，即ln t＞1－(t＞1)．

令t＝1＋，得ln＞，即lnn＋1＞ln e，

所以n＋1＞e，即＜.

由(2)知，f(x)≤＜，故所证不等式成立．……………………………………………………………12分