（本试卷满分150分，考试时间120分钟）

第Ⅰ卷（选择题50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）

1、如图， D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使ΔABE和ΔACD相似的是（ ）

A. ∠B=∠C B. ∠ADC=∠AEB

C .BE=CD，AB=AC D. AD∶AC=AE∶AB

2．如右图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，

∠B=70°，则∠BAC等于（ ）

A. 70° B. 20°

C. 35° D. 10°

3．若点
在以点为焦点的抛物线
上，

则
等于（ ）

A． B．
C． D．

4．极坐标方程
表示的曲线为（ ）

A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆

5．在⊙O中，直径AB、CD互相垂直，BE切⊙O于B，且BE=BC，CE交AB于F，交⊙O于M，连结MO并延长，交⊙O于N，则下列结论中，正确的是（ ）

A. CF=FM B. OF=FB

C. 的度数是22.5° D. BC∥MN

6．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，CD⊥AB于D，AB＝，则DB＝（ ）

A．
B．
C．
D．

7．若
且满足
，则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．不等式
的解集为（ ）

A．
B．

C．
D．

9．直线
被圆
截得的弦长为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．如图，平行四边形ABCD中，
，若
的面积等于，则

的面积等于（　 　）．

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在题中的横线上）

11．点
是椭圆
上的一个动点，则
的最大值为___________。

12．参数方程
的普通方程为__________________。

13．如图，AB是⊙O的直径，∠E=25°，

∠DBC=50°，则∠CBE=________ ．

14.若不等式
对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是 。

15．直角坐标系
中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
，曲线
，若两曲线有公共点，则的取值范围是 。

三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）

已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为
, 若△ABC的外接圆的半径为 ，且

（I）求∠C；

（Ⅱ）求△ABC的面积S的最大值．

17．（本小题满分12分）已知数列
的首项
，前项和为
，且

（1）求数列
的通项公式；

（2）设函数
，
是函数
的导函数，令

，求数列
的通项公式，并研究其单调性。

18. （本小题满分12分）甲、乙两名射击运动员参加射击选拔训练，在相同的条件下，两人5次训练的成绩如下表（单位：环）

次数

1

2

3

4

5



甲

6.5

10.2

10.5

8.6

6.8



乙

10.0

9.5

9.8

9.5

7.0





（1）请画出茎叶图，从稳定性考虑，选派谁更好呢？说明理由（不用计算）。若从甲、乙两人5次成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩至少有一个低于9.0环的概率；

（2）若从甲、乙两人5次成绩中各随机抽取二次，设抽到10.0环以上（包括10.0环）的次数为
，求随机变量
的分布列和期望；

19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA＝PB＝3，BC＝1，AB＝2，AD＝3，O是AB中点。

（1）证明CD⊥平面POC；

（2）求二面角C—PD—O的平面角的余弦值。

20. （本小题满分13分）设椭圆C1：
的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA 的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C2：
与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．

（1）求椭圆C1的方程；

（2）设M（0，
），N为抛物线C2上的一动点，

过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求
面积的最大值．

21．（本小题满分14分）已知函数
，其中
.

（1）求
的单调区间；

（2）求证：
＜

理科数学

参 考 答 案

17. （1）由
得
…………… 2分

两式相减得
， …………… 4分

又由已知
，所以
，即
是一个首项为5，公比
的等比数列，所以
…………… 6分

（1）因为
，所以

……………8分

令
则

所以，作差得
所以

即
……………

而
所以，作差得

所以
是单调递增数列。 …………… 12分

甲



乙



8 5

6







7

0



6

8







9

5 5 8



5 2

1 0

0



18．（1）茎叶图如下：

从图上看，乙更集中，选派乙更好， ………………………………… 3分

从甲、乙两人5次成绩中各随机抽取一次，则至少有一个低于9.0

环的概率为17/25 . ………………………………… 6分

（2）由题可知：随机变量
可能为：

X

0

1

2

3



 P

0.18

0.48

0.30

0.04



∴分布列为：

……………… 10分

期望为：EX=1.2 ……………… 12分

19.（1）
,O是AB的中点，
.

平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，PO平面PAB,

PO⊥平面ABCD，∴PO⊥CD. ①

∵AD∥BC,∠ABC＝90°,∠BAD＝90°.

在Rt△OBC中，OB=BC=1,

在Rt△OAD中，OA=1,AD=3,OD=
.

过C作CE⊥AD，垂足为E,易得DE=CE=2,CD=
,

即CD⊥OC。② 由①②得，CD⊥平面POC。 …………4分

(2)取CD的中点F，连接OF，则OF⊥平面PAB.建立如图的空间直角坐标系O—xyz。

易知
,则P（0，0，
），D（—1，3，0），C（1，1，0），
,

………… 7分

设平面OPD的法向量为
，则
取
=（3，1，0）

设平面PCD的法向量为
，则
10分

取
=（2，2，
）。
…………11分

依题意二面角O—PD—C的余弦值为
。 …………12分

． 即
．……………………………4分

代入椭圆方程整理得：
,

=
,

,
,

故

．………………………………6分

设点M到直线PQ的距离为d，则
．……………7分

所以，
的面积S

…………12分

当
时取到“=”，经检验此时
，满足题意．

综上可知，
的面积的最大值为
．…………………………13分

21．（1）

……………… 2分

若
，则
的增区间是：
，

减区间是：
和
……………3分

若
，则
的减区间是
，无增区间 ……………… 4分

若
，则
的增区间：
，减区间是
…… 5分若
，
的减区间是
，增区间是
……………… 6分

（2）由（1）知：当
时，
，即

即：
恒成立，………… （8分）

，当且仅当
时取“=”

……………… （10分）

转化为证明：
用数学归纳法证明如下：

当
时，左端
右端成立，

假设当
时，有
成立

则当
时，

对
均成立

即有：
恒成立 …………（14分）