北京市东城区2014-2015学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）

（考试时间：120分钟 满分100分）

一、选择题（每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1. 给出以下的输入语句，正确的是

A. INPUT a;b;c B. INPUT x=3

C. INPUT 20 D. INPUT “a=”;a

2. 若向量a=（3，2），b=（0，－1），则向量2b－a的坐标是

A. （3，－4） B. （－3，－4） C. （3，4） D. （－3，4）

3. 命题甲“a>2”；命题乙：“方程x2+2x+a＝0无实数解”，则命题甲是命题乙成立的

A. 充分不必要条件 B. 充分且必要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是

A. 至多有一次中靶 B. 两次都中靶

C. 两次都不中靶 D. 只有一次中靶

5. 下边的程序框图表示的算法的功能是

A. 计算小于100的奇数的连乘积

B. 计算从1开始的连续奇数的连乘积

C. 在从1开始的连续奇数的连乘积运算中，当乘积大于100时，计算奇数的个数

D. 计算1×3×5× …×n≥100时的最小的n的值

6. 椭圆
+
=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是

A.
B.
C.
D.

7. 设平面上四个互异的点A、B、C、D，若
·（
）＝0，则△ABC的形状是

A. 直角三角形 B. 等腰三角形

C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形

8. 已知双曲线
－
＝1（a>0，b>0）和椭圆
+
＝1（m>b>0）的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或钝角三角形

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

9. 命题“对任意x∈R，|x| ≥0”的否定是_________.

10. 甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：℃）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是____，气温波动较大的城市是____.

11. 某城市有学校500所，其中大学10所，中学200所，小学290所.现在取50所学校作为一个样本进行一项调查，用分层抽样方法，应该选取大学____所，中学____所，小学____所．

12. 如图，在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于
的概率为____.

13. 中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，－2），则它的离心率为______.

14. 已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，－5），点P（x，－1，3）在平面ABC内，则x=______.

三、解答题：本大题共5小题，其中第15， 16题各8分，第17，18题各9分，第19题10分，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. （本小题满分8分）

用三种不同颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种，求：

（Ⅰ）3个矩形颜色都相同的概率；

（Ⅱ）3个矩形颜色都不同的概率．

16. （本小题满分8分）

将一颗骰子分别投掷两次，观察出现的点数?.

（Ⅰ）求出现点数之和为7的概率；

（Ⅱ）若记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量p＝（m，n），q=（2，6），求向量p与q共线的概率.

17. （本小题满分9分）

已知，如图四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且AG＝
GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点，四面体P－BCG的体积为
.

（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成角余弦值；

（Ⅱ）若点F是棱PC上一点，且DF⊥GC，求
的值.

18. （本小题满分9分）

从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理数据得到频数分布表和频率分布直方图.

组号

分组

频数

频率



1

[0，2）

6

0.06



2

[2，4）

8

0.08



3

[4，6）

x

0.17



4

[6，8）

22

0.22



5

[8，10）

y

z



6

[10，12）

12

0.12



7

[12，14）

6

0.06



8

[14，16）

2

0.02



9

[16，18）

2

0.02



合计

100







（Ⅰ）求出频率分布表及频率分布直方图中的x，y，z，a，b的值；

（Ⅱ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；

（Ⅲ）若从一周课外阅读时间超过12小时（含12小时）以上的同学中随机选取2名同学，求所抽取同学来自同一组的频率.

19. （本小题满分10分）

已知椭圆
+
＝1（a>b>0）的离心率为
，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为2
.

（Ⅰ）求椭圆的方程.

（Ⅱ）若直线l：y=k（x－1）与椭圆相交于A、B两点，以AB为直径的圆经过椭圆的左焦点F1，求直线l的方程.

参考答案

一、选择题（每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1

2

3

4

5

6

7

8



D

B

A

C

D

A

B

B





二、填空题：本题共6小题，每小题4分，若有2－3空题错一空扣1分，共24分.

9. 存在x0∈R，使得|x0|<0 10. 乙，乙 11. 1，20，29

12.
13.
或
14. 11

三、解答题：本大题共5小题，其中第15，16题各8分，第17，18题各9分，第19题10分，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. （本小题满分8分）

解：按涂色顺序记录结果为（x，y，z），由于是随机涂色，所以x，y，z各有3种不同的涂法，故所有基本事件共有27种.

（Ⅰ）三个矩形颜色都相同的基本事件有3个，所以三个矩形都涂同一种颜色的概率为
； 4分

（Ⅱ）三个矩形颜色都不同的基本事件有（x，y，z），（x，z，y），（y，x，z），（y，z，x），（z，x，y），（z，y，x）共6个，所以三个矩形颜色都不同的概率为
. 8分

16. （本小题满分8分）

解：（Ⅰ）设“出现点数和为7”为事件A.

将一颗骰子掷两次，出现的点数有：（1，1），（1，2）……（6，6）共包括36个基本事件.

A事件包含的基本事件有：（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）共6个基本事件，因此，P（A）＝
＝
. 4分

（Ⅱ）设“向量p与q共线”为事件B.

将一颗骰子掷两次，出现的点数有：（1，1），（1，2）……（6，6）共包括36个基本事件.

由向量p与q共线，可得n＝3m，则事件B含的基本事件有（1，3），（2，6），共2个.

因此P（B）＝
＝
. 8分

17. （本小题满分9分）

解：（Ⅰ）由已知Vp-BGC=
S△BCG·PG=
·
BG·GC·PG=
得PG＝4.

以G点为原点建立空间直角坐标系o－xyz，

则B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4）.

故E（1，1，0），
＝（1，1，0），
＝（0，2，－4），

cos<
，
>＝
＝
＝
，

∴ 异面直线GE与PC所成的角的余弦值为
. 5分

（Ⅱ）设F（0，y，z），则
＝
－
＝（0，y，z）－（－
，
，0）＝（
，y－
，z），
＝（0，2，0），∵
⊥
，∴
·
＝0得y=
.

在平面PGC内过F点作FM⊥GC，M为垂足，则GM＝
，MC＝
.

因此，
＝
＝3. 9分

18. （本小题满分9分）

解：（Ⅰ）由频率分布表及频率分布直方图可得

x=17，y=25，z=0.25，a=0.085，b=0.125 3分

（Ⅱ）由频率分布表知：周课外阅读时间少于12小时的频数为6+8+17+22+25+12＝90，

∴ 周课外阅读时间少于12小时的频率为
＝0.9. 6分

（Ⅲ）设“所抽取同学来自同一组”为事件A.

由频率分布表可知，一周课外阅读时间超过12小时（含12小时）以上的同学共有10人，分别设这10位同学为A1，A2，…A10.从这10个同学中任选取2名同学，包含下列基本事件：

（A1，A2），（A1，A3），…（A1，A10），

（A2，A3），…（A2，A10），

…

…（A9，A10），

共有45种，若所选2人分在同一组则共有17种情况，即事件A包含的基本事件有17个.因此，

P（A）＝
. 9分

19. （本小题满分10分）

解：（Ⅰ）由已知：
，所以a＝
，b=1.

所以椭圆方程为
+y2=1. 4分

（Ⅱ）椭圆左焦点为F1（－1，0）

由方程组
得（1+2k2）x2－4k2x2+2k2－2=0

△=16k4－4（1+2k2）（2k2－2）>0，即8k2+8>0恒成立

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝
，x1x2＝

＝（－1－x1，－y1），

＝（－1－x2，－y2），由已知
·
＝0

所以，1+x1x2+x1+x2+k2[x1x2－（x1+x2）+1]=0

（1+k2）x1x2+（1－k2）（x1+x2）+k2+1=0

（1+k2）
+（1－k2）
+k2+1=0

k2=
.

k=
，经检验，符合题意，所以，直线方程为：y=
（x－1）. 10分s