绵阳南山中学高2016届高二下入学考试数学试题（理科）

命题人：雍华 审题人：王怀修

一、选择题（本大题共有10个小题，每题4分，共40分.每个小题给出的四个选项中只有一个正确.）

1．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，极坐标方程为
，表示的曲线为（ ）

半圆 B.线段 C.圆 D.直线

2．在空间直角坐标系中，点
关于轴的对称点的坐标是（ ）

A.
B.
　 C.
D.

3．如图所示是2014年某大学自主招生面试环节中，六位评委为某考生打出的面试分数的茎叶统计图，若该生笔试成绩90分，下列关于该同学成绩的说法正确的是(　 　)

面试成绩的中位数为83 　　　

面试成绩的平均分为84

C．总成绩的众数为173　　

D．总成绩的方差与面试成绩的方差都是19

4．已知20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下图所示．则成绩落在[50，60)与[60，70)中的学生人数分别为（ ）

A.2,3

B.2,4

C.3,2

D.4,2

（4题图）

5．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的( )

A．充分必要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．过抛物线
的焦点作直线
交抛物线于A（
，
），B（
，
）两点，若
=6，则|AB|=（ ）

A．2 　 B. 4 C. 6 D. 8

7．从正方形四个顶点中任取2个点，则这2个点间的距离大于该正方形边长的概率为(　 　)

A.
B.
C.
D.

8．执行如图的程序框图,如果输入的
,那么输出的

( )

　　

C．

D．

9．已知命题
任意
命题
存在
.则下列判断正确的是（ ） （8题图）

A.是假命题 B.是真命题

C.
是假命题 D.
是真命题

10．已知椭圆
（
）的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，且

，则椭圆的离心率=（ ）

A．
B.
C.
D.

填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.）

11．若直线
的倾斜角为直线
倾斜角的2倍，则直线
的斜率为

根据如图的程序语句，当输入X的值为2时，输出结果为

13．在平面直角坐标系
中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投点在E中的概率是　

14.已知抛物线
的准线与双曲线
交于
两点，且为抛物线的焦点，若
为直角三角形，则

15．已知动圆M与圆O1：
外切，同时与圆O2：
内切，曲线C为动圆圆心M的轨迹；则下列命题中：

(1)动圆圆心M的轨迹方程是
；

(2)若
，则
；

（3）以坐标原点为圆心半径为6的圆与曲线C没有公共点；

（4）动点
分别与两定点
连线的斜率之积为
，其中正确命题的序号是： .

三、解答题（本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

16．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．

地区

A

B

C



数量

50

150

100



(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；

(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．

17．已知直线l经过直线
：2x＋y－5＝0与
：x－2y＝0的交点A，

(1)当直线l在两坐标轴上的截距相等时，求直线l的方程；

(2)当点B(5,0)到l的距离最大值时，求直线
的方程．

18．如图,在平面直角坐标系
中,点
,直线
,设圆
的半径为,圆心在
上.

(1)若圆心
也在直线
上,过点作圆
的切线,求切线的方程；

（2）若（1）中过点作圆
的切线，切点分别为
,求弦
的长度.



19．已知椭圆C左、右焦点分别为
，椭圆的离心率为
，且椭圆经过点
；

求椭圆C的标准方程；

线段
是椭圆过点
的弦，且
,求
内切圆面积最大时实数
的值.

2016年3月

绵阳南山中学高2016届高二下入学考试参考答案

数学试题（理科）

1-10:　　ＡＡＣＡＣ　ＤＢＣＤＢ

11．
12. 6 13.
14.
15.（1） （4）

16．解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是

＝，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×＝1，150×＝3，100×＝2

所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.......................4分

(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个.....................................................................................................7分

每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．

记事件D为“抽取的这2件商品来自相同地区”，

则事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个......8分

所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为................................10分

解：（1）由
得
................1分

设直线
，则

.............................4分

当
时，
.......................6分

由题意：当
时，
的距离最大

.................8分

.................10分

解:(1)由
得圆心C为(3,2),.............1分

∵圆
的半径为

∴圆
的方程为:
..................2分

显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为
,

∴
.....................3分

∴
∴
∴
或者
...............4分

∴圆C的切线方程为:
或者
即
或
......5分

由（1）知
；...........6分

...........8分

...............9分

...........................10分

解：（1）

设
内切圆半径为，

.........5分

设直线
代入
中得：

...............6分

.............................7分

令
...............8分

当
，
内切圆面积最大，

.......................10分