1．设定义在
上的可导函数
的导函数
的图象如右所示,则
的极值点的个数为 （ 　）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．函数y=
x3-x2+5在x=1处的切线倾斜角为（ ）

A.
B.
C.
D.

3．若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4．函数
的极大值为
，那么的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．要使
成立，则
应满足的条件是

A．
且
B．
且

C．
且
D．
且
或
且

6．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程
有有理根，那么
中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是

A．假设
都是偶数

B．假设
都不是偶数

C．假设
至多有一个是偶数

D．假设
至多有两个是偶数

7．
（ ）

A.2e2-2 B.2e2 C.e2-e-2 D.e2+e-2-2

8．曲线
在
处的切线平行于直线
，则
点的坐标为（ ）

A．
B．

C．
和
D．
和

9．设
是函数
的导函数，将
和
的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）

10．函数
恰有两个不同的零点，则可以是（ ）

A．3 B.4 C.6 D.7

11． 在数学解题中，常会碰到形如“
”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设
是非零实数，且满足
，则
＝ （ ）

A．4 B．
C．2 D．

12．
，则不等式
的解集为( )

A．
B．

C．
D．

二、填空题（每空5分，共20分）

13．黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第4个图案中有白色地面砖________________块．

14．在
中，
，
，
，则
_______.

15．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm,要使 其体积最大，则其高应为

16．下列命题中假命题的序号是

①
是函数
的极值点；

②函数
有极值的必要不充分条件是

③奇函数
在区间
上是单调减函数.

④若双曲线的渐近线方程为
，则其离心率为2.

三、解答题（70分）

17．（10分）求垂直于直线
并且与曲线
相切的直线方程.

18．（12分）已知数列
的第一项
=5，且
=
（n≥2 n
）

（1）求
、

、
并由此猜想

的表达式；

（2）用数学归纳法证明（1）的结论。

19．（12分）已知函数f(x)=
(
)

(1)求函数f(x)的极值；

（2）当
，且x≥1时，证明 ：f(x)≤1

20．（12分）已知圆
，点
，以线段AB为直径的圆内切于圆
，记点B的轨迹为C.

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）直线AB交圆
于C，D两点，当B为CD中点时，求直线AB的方程.

21．（12分）在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？

22．（12分）已知
(mR)

（１）若函数
在
上单调递增，求实数的取值范围；

（２）当
时，求函数
在
上的最大，最小值；

（3）求
的单调区间.

参考答案

3．B

【解析】

试题分析：法一（注重导数概念的应用的解法）：因为
，所以

，选B；

法二（注重导数定义中各变量的联系的解法）：因为
，所以

（其中：
），故选B.

考点：导数的概念.

4．C

【解析】

试题分析：∵函数f（x）=2x3-3x2+a，导数f′（x）=6x2-6x，令f′（x）=0，可得 x=0 或 x=1，导数在 x=0 的左侧大于0，右侧小于0，故f（0）为极大值．f（0）=a=6．导数在 x=1 的左侧小于0，右侧大于0，故f（1）为极小值．故选：C．

考点：函数在某点取得极值的条件．

5．C

【解析】

试题分析：首先由
得到此方程有四个根，同时在极值点的左右两侧满足
异号，这样
的极值点的个数为三个.故选C.

考点：函数极值点的判断方法.

6．B

【解析】

试题分析：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，则a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“假设a，b，c都不是偶数”，故选：B．

考点：反证法．

8．C

【解析】

试题分析：因为
，要使曲线
在
处的切线平行于直线
，设
，则有
即
，由
或
，当
时，
，此时点
不在直线
上，满足要求；当
时，
，此时点
也不是直线
上，也满足要求；综上可知，选C.

考点：导数的几何意义.

9．D

【解析】

试题分析：本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数. 解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．

考点：函数单调性

点评：考查了函数单调性问题，以及函数的图像的特殊值排除法思想的应用，属于基础题。

10．B

【解析】

试题分析：根据题意，由于函数
恰有两个不同的零点，即可知
有两个不同的交点，而对于
,可知函数在(1,2)内递减，在
递增，故可知f(1)=5,f(2)=4,那么结合图像的单调性可知，满足题意的a=4成立，故选B.

考点：函数与方程

点评：解决的关键是利用函数的零点的定义，结合图像与图形的交点来处理，属于基础题，体现了转化与化归思想的运用。

11．D

【解析】解：因为
，所以

12．D

【解析】解：因为
，

所以
，且
，因此

所以
解集为

13．18

【解析】

试题分析：由图形间的关系可以看出，第1个图案中有白色地面砖6块，第4个图案中有白色地面砖6+4块，第4个图案中有白色地面砖6+24块，第4个图案中有白色地面砖6+34块，故答案为18块.

考点：归纳推理.

14．
.

【解析】

试题分析：由余弦定理可得
或
（负值舍去），

∴
，∴
.

考点：余弦定理解三角形.

15．32

【解析】

试题分析：解：∵函数f（x）=x3-12x+8,∴f′（x）=3x2-12,令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜-2；令f′（x）＜0，解得-2＜x＜2,故函数在[-2，2]上是减函数，在[-3，-2]，[2，3]上是增函数，所以函数在x=2时取到最小值f（2）=8-24+8=-8，在x=-2时取到最大值f（-2）=-8+24+8=24,即M=24，m=-8,∴M-m=32,故填写32.

考点：导数知识的运用

点评：本题重点考查导数知识的运用，考查函数的最值、单调性，解答本题关键是研究出函数的单调性，利用函数的单调性确定出函数的最值

【解析】

试题分析：先根据所求直线与直线
垂直求出所求直线的斜率
，然后设出切点
，由
，计算出的值，接着计算出
的值，最后可写出切线的方程：
，并化成一般方程即可.

试题解析：因为直线
的斜率为
，所以垂直于直线
并且与曲线
相切的直线的斜率为

设切点为
，函数
的导数为

所以切线的斜率
，得

代入到
得
，即

∴所求切线的方程为
即
.

考点：1.两直线垂直的判定与性质；2.导数的几何意义.

18．（1）
；（2）
．

【解析】

试题分析：（1）由
及
得
，
，求解方程组可求出
和
；利用等差数列的通项公式即可求出
；（2）由
，利用裂项求和即可求解．

试题解析：（1）由
及
得
，
,解得
，所以
．

（2）
，

从而有：
．

故数列
的前100项和为
．

考点：数列的求和；数列的概念及简单表示法．

19．（1）
；（2）
的增区间为
，减区间为
；（3）
．

【解析】

试题分析：（1）求出
，因为
是函数的一个极值点，所以得到
即
，求出

与的关系式；（2）令
，求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；（3）

函数图像上任意一点的切线斜率恒大于
即
代入得到不等式即
，又因为
，分
和
，
，求出
的最小值．要使
恒成立，即要
，解出不等式的解集求出的取值范围．

试题解析：（1）因为
是函数
的一个极值点，

所以
即
．

（2）
，

因为
，所以
．所以
的增区间为
，减区间为
．

（3）由题意得：
，在
时恒成立．

令
，因为
，所以
解得：
．

考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．

（Ⅱ）因为B为CD的中点，所以OB⊥CD，

则
．设B(x0，y0)，

则
． 7分

又
解得
，
．

则kOB＝
，kAB＝
， 10分

则直线AB的方程为
，即

或
． 12分

考点：椭圆的标准方程和几何性质、直线的标准方程和几何性质.

21．当箱底边长为
时，箱子容积最大，最大容积是
.

【解析】

试题分析：设箱底边长为
，则无盖的方底箱子的高

，其体积为
，

则

，

令
，得
，解得
（
舍去）

当
时，
；当
时，
.

所以函数
在
时取得极大值，

结合实际情况，这个极大值就是函数
的最大值.
，

故当箱底边长为
时，箱子容积最大，最大容积是
.

考点：导数在实际中的运用

点评：解决的关键是合理的设出变量，然后建立空间几何体体积公式，进而得到函数关系式，借助于导数求解最值，易错点是忽略了定义域。属于中档题。

22．（１）
；

（２）
；
；

（3）f(x)在
上单调递减，在
上调递增

【解析】(1)本小题可转化为
在
上恒成立问题来解决.

（2）当m=2时，解析式确定，直接利用导数研究极值最值即可.

（3）根据导数大（小）于零，确定其单调增（减）区间.在求解的过程中，由于含有参数m,需要对m进行讨论.

解：（１）
,---1分若函数
在
上单调递增，则
在
上恒成立，即
在
上恒成立，即
．----4分

（２）当
时，
，令
得
,
时
，