2014学年第二学期期中杭州地区七校联考高二年级数学（文科）试题

命题审校人： 场口中学 孙金千 寿昌中学 熊亮

考生须知：

1．本卷满分100分，考试时间90分钟；

2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；

3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

4．考试结束后，只需上交答题卷。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每个小题所给的四个选项有且只有一个符合题目要求。）

1．已知倾斜角为90o的直线经过点A(2m, 3), B(2, -1)，则m的值为（ ）

A．0 B．1 C．2 D． 3

2．对抛物线y＝
x2，下列描述正确的是（ ）

A．开口向上，焦点为(0,1)　 B．开口向右，焦点为(1,0)

C．开口向上，焦点为(0，) D．开口向右，焦点为(，0)

3．已知某四棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，

则该四棱锥的体积是 （ ）

A．
B．

C．
D．

4．球的体积与其表面积的数值相等，则球的表面积等于（ ）

A．( B．4( C．16( D．36(

5．直线l1：ax+2y+3=0与l2：x- (a-1)y+a2-1=0，则“a＝2”是“直线l1与l2垂直”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

6．若m,n是两条不同的直线，(,(是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 ( )

A. (∥(, m ((, n((( m∥n B. (⊥(, n∥(, m⊥((n⊥m

C. m∥n, m∥(( n∥( D. m∥n, m⊥((n⊥(

7．实数x,y满足
则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=4, AA1=2, E, F分别是A1B1和B1C1的中点，

则异面直线AE与BF所成的角. （　　）

A． 30o B．600 C． 90o D． 120o

9．有下列四个命题：

①“平面内一个动点到两个定点的距离之和为定长，则动点的轨迹为椭圆”；

②“若q≤1，则方程
有实根”的否命题；

③“若
，则
的解集为R”的逆命题.

④“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆否命题.

其中真命题的序号有（　　）

A.②③ B.①③④ C.①③ D.①④

10．分别过椭圆
的左右焦点F1、F2所作的两条互相垂直的直线l1、l2的交点在椭圆上，则此椭圆的离心率的取值范围是（　　）

A．（0,1） B．
C．
D．

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11.命题“x0∈R，使得
+2x0+5>0”的否定是____________________．

12.双曲线
的渐近线方程为____________________．

13.不论m为何实数，直线mx－y＋3＝0 恒过定点___________________（填点的坐标）

14. 已知直线l∥平面α,直线m (α,则直线l和m的位置关系是　 　?．

（平行、相交、异面三种位置关系中选）

15. 已知动圆M与圆C1：(x＋5)2＋y2＝16外切，与圆C2：(x－5)2＋y2＝16内切，则动圆圆心的轨迹方程为 。

16. 如图，在边长为2的菱形ABCD中,

，现将
沿BD翻折至
，

使二面角
的大小为
，求CD和平

面A/BD所成角的余弦值是 ；

17.设双曲线C：
(a＞0，b＞0)的右焦点为F，左，右顶点分别为A1，A2．过F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线l与另一条渐近线相交于P，若P恰好在以A1A2为直径的圆上，则双曲线C的离心率为___________________.

三．解答题：(本大题共4题，第1、2、3题每题10分，第4题12分，共42分．）

18. 命题
实数x满足
（其中
），命题

（Ⅰ）若
，且
为真，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

19. 已知圆C的圆心在坐标原点，且被直线3x＋4y＋15＝0截得的弦长为8

（Ⅰ）试求圆C的方程；

（Ⅱ）当P在圆C上运动时，点D是P在x轴上的投影，M为线段PD上一点，

且|MD|＝
|PD|.求点M的轨迹方程；

20. 如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且直线PA⊥平面ABCD，

又棱PA=AB=2，E为CD的中点，
.

（Ⅰ）求证：直线EA⊥平面PAB;

（Ⅱ）求直线AE与平面PCD所成角的正切值.

21.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点
.

（Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）直线
，与圆
相切且与抛物线交于不同的两点
，当
为直角时，求△OMN的面积。

2014学年第二学期期中杭州地区七校联考

高二年级数学（文科）参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每个小题所给的四个选项有且只有一个符合题目要求。）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

A

B

D

C

D

D

B

A

C



二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11、x∈R，都有x2+2x+5≤0 12、
13、(0, 3) 14、平行或异面

15、
16、
17、

三．解答题：(本大题共4题，第1、2、3题每题10分，第4题12分，共42分．）

18命题
实数x满足
（其中
），命题

（1）若
，且
为真，求实数的取值范围；

（2）若q是p的充分不必要条件，求实数的取值范围.

解：（1）p：
，a=1时,1

为真，故2

（2）若q是p的充分不必要条件，则q(p 7分

∴
解得
． 10分

19. 已知圆C的圆心在坐标原点，且被直线3x＋4y＋15＝0截得的弦长为8

(1)试求圆C的方程；

(2)当P在圆C上运动时，点D是P在x轴上的投影，M为线段PD上一点，

且|MD|＝
|PD|.求点M的轨迹方程；

(1) 已知圆C的圆心在坐标原点，且被直线3x＋4y＋15＝0截得的弦长为8

而圆心到直线3x＋4y＋15＝0的距离d＝＝3，

由弦长公式得
所以r=5

所以所求圆的方程为x2＋y2＝25 5分

(2)设点M的坐标是(x，y)，P的坐标是(xP，yP)，

因为点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝
|PD|，

所以xP＝x，且yP＝
y，∵P在圆x2＋y2＝25上，

∴x2＋(
y)2＝25，整理得

即C的方程是
5分

20. 如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且直线PA⊥平面ABCD，

又棱PA=AB=2，E为CD的中点，
.

(1) 求证：直线EA⊥平面PAB;

(2) 求直线AE与平面PCD所成角的正切值.

．略解：（1）证明：∵∠ADE=∠ABC=60°，ED=1，AD=2∴△AED是Rt△

又∵AB∥CD, ∴EA⊥AB 又PA⊥平面ABCD，∴EA⊥PA,∴EA⊥平面PAB, ……4分

（2）连结PE，过A点作AH⊥PE于H点

∵CD⊥EA, CD⊥PA∴CD⊥平面PAE,∴AH⊥CD，又AH⊥PE

∴AH⊥平面PCD∴∠AEP为直线AE与平面PCD所成角……………………8分

在Rt△PAE中，∵PA=2，AE=
∴
…………10分

21.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点
.

（Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）直线
，与圆
相切且与抛物线交于不同的两点
，当
为直角时，求△OMN的面积。

解：(Ⅰ) 设抛物线方程为
，

由已知得：
所以

所以抛物线的标准方程为
………………4分

(Ⅱ)因为直线与圆相切， 所以

把直线方程代入抛物线方程并整理得：

由
得
或
…………6分

设
， 则
且

为直角
解得t=4或t=0(舍去) ……………8分

， …………10分

点
到直线的距离为
，…………11分

=
………………………12分